3.2.2--直线的两点式方程

3.2.2直线的两点式方程1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；(重点、难点)2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围；3.掌握中点坐标公式；(重点)4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）一般做法：342kbkb由已知得：12kb解方程组得：所以，直线方程为:y=x+2待定系数法方程思想已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．为什么可以这样做，这样做的根据是什么？还有其他做法吗？432143312120()kyxxy由斜率公式得到斜率再由直线的点斜式方程得化简可得343121yx即：得:y=x+2设P(x,y)为直线上不同于P1,P2的动点,与P1(1,3)，P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：112ppppkk解：设点P(x,y)是直线上不同于P1,P2的点．211121xyyxyyxx可得直线的两点式方程：211121yyxxyyxx∴∵kPP1=kP1P2记忆特点：1.左边全为y，右边全为x2.两边的分母全为常数3.分子，分母中的减数相同已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）,求通过这两点的直线方程．不是!112121yyxxyyxx注意：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线的方程．那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢？当x1＝x2或y1=y2时,直线P1P2没有两点式方程.(因为x1＝x2或y1=y2时,两点式的分母为零,没有意义)若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是什么?当x1＝x2时方程为：x＝x1或x＝x2当y1=y2时方程为：y=y1或y=y2000yxabaxlB(0,b)A(a,0)Oy解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代入两点式得：1.xyab即例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b)其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.直线的截距式方程1.xyab直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线方程的截距式方程.在y轴上的截距在x轴上的截距截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.过点(2，1)且在x轴上的截距是在y轴上截距2倍的直线方程为____________.【解析】若直线过原点，满足条件，方程为若直线不过原点，设直线方程为∵过点(2,1)，解得b=2，方程为x+2y-4=0.答案：或x+2y-4=01yx,2xy1,2bb211.2bb1yx2直线过原点不容忽视例2已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为：这就是BC边所在直线的方程.2032305360.yxxy整理得，303231.2222BCMM设的中点为,则的坐标为（，），即（，）3105(5,0),,132205221350.yxAMxyBC过（，）的直线方程为整理得这就是边上的中线所在直线的方程.1212111222),(,),).22xxyyPxyPxy以（，为端点的线段的中点坐标为（中点坐标公式例3求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.Oxy分析：截距均为0时，设方程为y=kx,截距均不为0时，设为截距式求解.解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)代入上式得即直线方程为当截距均不为0时，设直线方程为把P(-5，4)代入上式得直线方程为即综上：直线方程为或4.5yx4,5k1,xyaa1.a1,xy10.xy45yx10.xy截距为零不容忽视截距为0时不能用截距式求解方程.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为()1132ABCD3323解：选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为a72b12，311.7531.下列四个命题中为真命题的是（）.B00000111222121121(A)P(x,y)y-y=k(x-x);(B)P(x,y),P(x,y)(y-y)(x-x)=(x-x)(y-y);xy(C)+=1;ab(D)y=kx+b.经过定点的直线都可以用方程表示经过任意不同两点的直线都可以用方程表示不经过原点的直线都可以用方程表示经过定点的直线都可以用表示1251;2.4255yxyx解：（）（）12(1)(21),(03);(2)(05),(5PPAB，，，，0).2.求经过下列两点的直线方程:3.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的面积是_____.12ab解:两条y=2x(在x轴和y轴上的截距都为0)所以直线方程为：x+y-3=0.即：a=3.121,aa把(1,2)代入得：1,xyaa当截距都不为0时，设直线的方程为:4.过点(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?5.(2012·西安模拟)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等.∴a=2,方程即为3x+y=0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得=a-2,即a+1=1,∴a=0，即直线方程为x+y+2=0.a2a1直线方程名称直线方程形式适用范围点斜式斜截式两点式截距式)(00xxkyy121121xxxxyyyy1byax不垂直x轴不垂直x轴不垂直两个坐标轴不垂直两个坐标轴且不经过原点bkxy各类方程的适用范围1.直线的两点式方程2.截距式方程1byax1112122121(,)yyxxxxyyyyxx两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.3.中点坐标公式1212,)22xxyy（不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开心扉。——培根