一个小波变换实例及Matlab实现

1、选择()t或ˆ()，使()kZtk为一组正交归一基；2、求nh。1,(),()nnhtt或ˆˆ()(2)/()H3、由nh求ng。1(1)nnngh或()()iGeHt4、由ng，()t构成正交小波基函数()t1,()()nntgt或ˆˆ()(/2)(/2)GHaar小波的构造1）、选择尺度函数。101()0tt其他易知(n)t关于n为一正交归一基。2）、求nh1,(),()nnhtt=2()2t-n)tdt（其中11(2)220nnttn其他当n=0时，11(2)20tt其他当n=1时，111(21)20tt其他故，当n=0，n=1时1()(2)0nnttn其他当n=0时，()(2)ttn1120t其他当n=1时，()(2)ttn11120t其他故nh=2()2t-n)tdt（1/20nn其他3）、求ng。11/20(1)1/210nnnnghn其他4）、求()t。1,()()nntgt=0-1,011,1()()gtgt=112(2)2(21)22tt=110211120tt其他其图形如下：1、Haar尺度函数101()0tt其他Haar尺度函数空间：,(22),(21),(2),(21),(21),jjjjjxxxxxj为非负的整数，该空间又称为j级阶梯函数空间jV。则01211jjjVVVVVV随j的增加，分辨更为精细。2、性质函数集/22(2):jjxkkZ是jV的一个标准正交基。0()fxV当且仅当(2)jjfxV。3、Haar小波函数函数满足两点：（1）是1V的成员；（2）与0V正交。()x(2)(21)xx性质：()0xdx()x是对称的、局部支撑的函数；小波函数空间:(2),jjkkkZWaxkaRjW是jV的正交互补，即1jjjVVW函数集/22(2):jjxkkZ是jW的一个标准正交基4、Haar小波分解与重建对Haar小波，有11(2)((2)(2))jjjxxx/211(21)((2)(2))/2jjjxxxttHaar小波分解定理：设：()(2),()jjkjjkZfxaxkfxV则它可以有如下分解：11jjjff11111(2),()jjjkjjkZfaxkfxV11111(2),()jjjkjjkZbxkxW12212jkkkaaa12212jkkkaab把函数f分解成一个小波空间与一个尺度空间的分量()2(4)2(41)(42)(43)fxxxxx解：按照分解定理，此j=2,；k=0,1,2,3对应的系数是2,2,1，-1；代入公式，得出分解后尺度函数空间元素的系数是2222，1102；分解后小波函数空间元素的系数是2202，1(1)12；从而()2(2)(21)fxxx21/21-1f(x)21/211/21Matlab程序image1=imread('512.jpg');image1=rgb2gray(image1);subplot(2,2,1);imshow(image1);title('originalimage');image1=double(image1);imagew=imread('shuiyin.bmp');imagew=rgb2gray(imagew);subplot(2,2,2);imshow(imagew);title('originalwatermark');[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca,'db1');[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');M=512;N=64;fori=1:Nforj=1:NCa(i,j)=cas(i,j)+0.01*imagew(i,j);end;end;IM=idwt2(Ca,chs,cvs,cds,'db1');IM1=idwt2(IM,ch1,cv1,cd1,'db1');markedimage=double(idwt2(IM1,ch,cv,cd,'db1'));subplot(2,2,3);colormap(gray(256));image(markedimage);title('markedimage');imwrite(markedimage,gray(256),'watermarked.bmp','bmp');image1=imread('512.jpg');image1=rgb2gray(image1);image1=double(image1);imaged=imread('watermarked.bmp');[ca,ch,cv,cd]=dwt2(image1,'db1');[ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(ca,'db1');[cas,chs,cvs,cds]=dwt2(ca1,'db1');[caa,chh,cvv,cdd]=dwt2(imaged,'db1');[caa1,chh1,cvv1,cdd1]=dwt2(caa,'db1');[caas,chhs,cvvs,cdds]=dwt2(caa1,'db1');forp=1:Nforq=1:NW(p,q)=100*(caas(p,q)-cas(p,q));end;subplot(2,2,4);colormap(gray(256));image(W);title('从含水印图像中提取的水印');imwrite(W,gray(256),'watermark.bmp','bmp');