对数及其运算

2.2.1对数及其运算陈征对数2000年我国国民经济生产总值为a亿元,如果按平均每年增长8.2%估算,那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的两倍.假设经过x年,国民经济生产总值是2000年的2倍,依题意,有a(1+8.2%)x=2a,即1.082x=2指数x取何值时满足这个等式?如果a(a0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作logaN=b底数真数对数概念对数式中字母的取值范围是什么？（1）b∈R（2）N0（3）a0,且a≠1logaN=ba0,a≠1?log(-2)8log01log15log11不存在不存在不存在有无数个值对于某些N,值不存在对于某些N,值不存在对于某些N,值不存在对于N=1,值不唯一在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,所以ab=N中,N总是正数,即:零和负数没有对数.N0对任何实数a(a0,a≠1),指数函数y=ax,x∈R的值域是(0,+∞),所以对任何实数N,logaN是存在,且由于指数函数是单调函数,logaN是唯一.练一练将下列对数形式写成对数形式.01.010;48;644;2082.12323xlog1.0822=xlog464=3log84=log100.01=-232以1.082为底2的对数是x以4为底64的对数是3以8为底4的对数是以10为底0.01的对数是-232思考(1)式子ab=N和logaN=b(a0,a≠1,N0)有什么关系?logaN=bab=N底数(a0,a≠1)真数幂指数对数对数式与指数的关系思考(2)求对数loga1,logaa(a0,a≠1).对于a0,a≠1都有a0=1,a1=a所以loga1=0logaa=1?3log有什么关系与NaNa思考令b=logaN知ab=N即alogaN=N通常将以10为底的对数叫作常用对数,N的常用对数log10N简记作lgN.e是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.科学技术中常以e作为对数的底数,以e为底的对数称为自然对数.N的自然对数logeN简记作lnN.常用对数及自然对数例题讲解例1将下列指数式写成对数式:.155416;83;27132;62551343-4a;4635log15解;3271log23;3416log38;15log45a例2将下列对数式写成指数式.11.0lg4;3271log3;5234log2;416log131321例题讲解;162114解;234325;2713133.1.01041例题讲解例3求下列各式的值:.5.2log5;1ln4;33;32log2;25log15.210log2153;225log25,5152所以因为解;532log32,21221-5所以因为;103310log3;01ln4.15.2log55.2练习1.将下列系数式写成对数式:.41644;498273;102422;7293131321066729log13011024log223249log382731-41log464练习2.将下列对数式写成指数式:.2.4log4;40001.0lg3;23125log2;9512log131252m512219125252230001.0013-42.4314m练习3.求下列对数的值:17log8;01.0lg7;343log6;25.6log5;1log4;525log3;811log2;0001lg11775.24.0359(1)3(2)-2(3)5(4)0(5)2(6)3(7)-2(8)1对数的运算性质1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质动手实践第一组式log28log232log2(8×32)值猜想性质)328(log32log8log2223581.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质动手实践第二组式lg1000lg100000值猜想性质531010lg3－25531010lg100000lg1000lg1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质动手实践第三组式log3355·log33值猜想性质3log53log353552,利用科学计算器,完成下表(精确到0.000001)并从数据中分析等量关系,猜想对数的运算性质1.0039371.1448461.3058650.0129520.0629060.397940lgM－lgN0.0129520.0629060.39794010.8654710.2159102.210411lgM·lgN6.5925760.9314453lgM+lgN6.5925760.9314453lg(MN)19492.71828120N20083.14159650MNMlglgNMlg对数的运算性质.logloglog3;loglog2;logloglog1,0,0,0,0NMNMRnMnMNMMNNMaaaaaanaaaa则如果对数的运算性质;logloglog1,0,0,0,0NMMNNMaaaaa则如果证明设logaM=p,logaN=q,则由对数定义得ap=M,aq=N.因为MN=apaq=ap+q,所以p+q=loga(MN),即loga(MN)=logaM+logaN例4计算.100lg2;39log151523解(1)log3(92×35)=log392+log335=log334+5log33=4+5=9;25110lg51100lg225152例5用logax,logay,logaz表示下列各式:.log3;log2;log122yzxyzxyzxaaa(1)logax2yz=logax2+logay+logaz=2logax+logay+logazyzxa2log2=logax2-logayz=2logax-(logay+logaz)=2logax-logay-logazyzxalog3yzxaaloglog21zyxaaalogloglog21例6科学家以里氏震级来度量地震的强度.若设I为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级r可定义为r=lgI,试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度.解设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I1和I2,由题意得6.9=lgI17.8=lgI2lgI2-lgI1=0.99.0lg12II8109.012II思考交流1.判断下列各式是否成立,如果不成立,举一个反例..lglglglg4;lglglg3;lglglg2;lglglg1NMNMNMNMNMNMNMMN2.对数的运算性质有什么特点?练习1.求下列等式中的x的值:(1)logx81=2;(2)lg0.001=x;(3)10x+lg2=2000.2.求下列各式的值:.4log1log6;20lg5lg5;81log8log4;4log36log3;216log2;ln15.05.0773362e9-33-222201.53.用lgx,lgy,lgz表示下列各式:.lg3;lg2;lg132233132zyxzxyyzx练习(1)2lgx+lgy+3lgzzyxlg23lg31lg2zyxlg21lg3lg23小结对数的概念loga1=0logaa=1alogaN=N零和负数没有对数.logloglog3;loglog2;logloglog1,0,0,0,0NMNMRnMnMNMMNNMaaaaaanaaaa则如果对数的运算性质