4.1对数及其运算(一)、(二)

一个细胞经过一次分裂变成2个细胞，经过两次分裂变成4个，……问题1：经过4次分裂变成了多少个细胞？提示：24＝16.问题2：经过多少次分裂后，细胞的个数是512?提示：9次．问题3：经过x次分裂后，细胞个数是y，则y＝2x.如何用y表示x?提示：x＝log2y.1．对数的定义如果a(a0，a≠1)的b次幂等于N，即，那么数b叫作以a为底N的对数．记作.其中，a的范围是，N的范围是，b的取值范围是.ab＝NlogaN＝ba0且a≠1N0b∈R练一练将下列指数式写成对数式.01.010;48;644;2082.12323xlog1.0822=xlog464=3log84=log100.01=-232以1.082为底2的对数是x以4为底64的对数是3以8为底4的对数是以10为底0.01的对数是-232思考(1)式子ab=N和logaN=b(a0,a≠1,N0)有什么关系?logaN=bab=N底数(a0,a≠1)真数幂值指数对数对数式与指数式的关系(2)求对数loga1,logaa(a0,a≠1).对于a0,a≠1都有a0=1,a1=a所以loga1=0logaa=1?3log有什么关系与NaNa令b=logaN知ab=N即alogaN=N指数式与对数式的互化ab＝N⇔对数恒等式alogaN＝对数的性质①底的对数等于，即logaa＝②1的对数等于，即loga1＝③零和负数没有对数b＝logaNN11零0通常将以10为底的对数叫作常用对数,N的常用对数log10N简记作lgN.e是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.科学技术中常以e作为对数的底数,以e为底的对数称为自然对数.N的自然对数logeN简记作lnN.常用对数及自然对数例1（1）将下列指数式写成对数式：（1）（4）（3）（2）3225532log22121121log2813xx81log3614xx61log4题型一、指数式与对数式的互化（1）（4）（3）（2）（2）将下列对数式写成指数式：01.0102201.0lg12515331251log510303.2e303.210ln27313327log31变式训练（1）下列各组指数式与对数式互化不．正确的是()A．23＝8与log28＝3B．27＝13与log2713＝－13C．(－2)5＝－32与log(－2)(－32)＝5D．100＝1与lg1＝0解析：对数式logaN中，要求底数a0，且a≠1，真数N0.答案：C－13（2）将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4；(2)log27＝－3；(3)log3x＝6；(4)43＝64；(5)3－2＝19；(6)(14)－2＝16.解：(1)24＝16;(2)(13)－3＝27；(3)(3)6＝x;(4)log464＝3;(5)log319＝－2;(6)log16＝－2.141327log)1(9例2、计算：,27log)1(9x设解：23,33,27932xxx　　则　81log)2(3625log)3(5,81log)2(3x设4,33,8134xxx　　则　,625log)3(5x设4,55,62554xxx　　则　题型二、求对数式值625log)3(345625log)3(345x设,625534x,55434x3x27log)1(9变式：81log)2(43,27log)1(9x设解：3,339,27932xxxx　　则　,81log)2(43x设1644,3344xxx　　则　例3计算：(1)log2(log55)；(2)log(2－1)13＋22；(3)alogab·logbc(a，b为不等于1的正数，c0)．题型三、对数的性质及对数恒等式解：(1)原式＝log21＝0；(2)原式＝log(2－1)12＋12＝log(2－1)12＋1＝log(2－1)(2－1)＝1；(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.变式训练3（1）有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2，其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④解析：lg(lg10)＝lg1＝0；ln(lne)＝ln1＝0，故①、②正确；若10＝lgx，则x＝1010，③错误；若e＝lnx，则x＝ee，故④错误．（2）设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝()A.1049B.710C.107D.4910解析：3a－b＝3a3b＝33log10log733＝107.（3）若log3[log4(log5a)]＝log4[log3(log5b)]＝0，则ab＝_______.解析：由log3[log4(log5a)]＝0知log4(log5a)＝1，∴log5a＝4，即a＝54，同理可得b＝53，∴ab＝5453＝5.小结学习要求1.掌握指数式与对数式的互化.2.会由指数运算求简单的对数值.3.掌握对数恒等式及其应用.作业课本习题3-4A组1、2题3题中的（1）、（2）、（8)、(9)小题1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质动手实践第一组式log28log232log2(8×32)值猜想性质)328(log32log8log222358第二组式lg1000lg100000值猜想性质531010lg3-25531010lg100000lg1000lg第三组式log3355·log33值猜想性质3log53log35355对数的运算性质.logloglog3;loglog2;logloglog1,0,0,0,0NMNMRnMnMNMMNNMaaaaaanaaaa则如果对数的运算性质;logloglog1,0,0,0,0NMMNNMaaaaa则如果证明设logaM=p,logaN=q,则由对数定义得ap=M,aq=N.因为MN=apaq=ap+q,所以p+q=loga(MN),即loga(MN)=logaM+logaN证明：设,logpMa由对数的定义可以得：,paM∴npnaMnpMnalog即证得)(2R)M(nnlogMlogana)(2R)M(nnlogMlogana证明：设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN∴qpaaqpaqpNMalog即证得NM)(3NlogMlogNMlogaaa)(3NlogMlogNMlogaaaNmnNanamloglog证明：设,logpNnam由对数的定义可以得：,)(pmnaN∴即证得NmnNanamloglogmpnaNpnmNalogpnmaN题型一、化简、求值[例1]计算下列各式的值：(1)log2748＋log212－12log242；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[精解详析](1)原式＝log27×1248×42＝log212＝－12；(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.变式训练1（1）若lgx－lgy＝a，则lg(x2)3－lg(y2)3＝()A．3aB.32aC．aD.a2解析：lg(x2)3－lg(y2)3＝3(lgx－lg2)－3(lgy－lg2)＝3(lgx－lgy)＝3a.（2）2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.(3)2log32－log3329＋log38－5log53；解：(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1；(4)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.解(4)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64＝[(log63)2＋log62(log62＋log632)]÷2log62＝[(log62)2＋(log62)2＋2·log62·log63]÷2log62＝loh62＋log63＝log6(2·3)＝1.解法1：lg45＝12lg45＝12lg902＝12(lg9＋lg10－lg2)＝12(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋12－12lg2＝0.4471＋0.5－0.1505＝0.8266.解法2：lg45＝12lg45＝12lg(5×9)＝12(lg5＋2lg3)＝12(1－lg2＋2lg3)＝12－12lg2＋lg3＝0.8266.（5）已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg45的值．例2用表示下列各式：zyxaaalog,log,log(1);logzxya(2).log32zyxazyxaaalogloglog)1(原式zyxaaalog31log21log2)2(原式题型二、用已知对数表示其它对数变式训练2：用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2)logaxyz.解；(1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay；(2)logaxyz＝logax－loga(yz)＝logax12－(logay＋logaz)＝12logax－logay－logaz.A．4B．3C．2D．1例3、已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则lg2ab的值是()[解析]由题意知lga＋lgb＝2，lgalgb＝12，则lg2ab＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lgalgb＝4－2＝2.题型三、综合应用变式训练33（1）已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求log2xy的值解∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.∴(x－y)(x－4y)＝0.解之得x＝y或x＝4y.∵x0，y0，x－2y0，∴x＝y应舍去．xy＝4.∴log2xy＝log24＝4.444log(31)log(1)log(3).xxx（2）解方程解:原方程可化为444log(31)log(1)log(3).xxx2.解方程31(1)(3)xxx220xx21xx解得或2x方程的解是检验:舍去-1x