事件的独立性习题课

事件的相互独立性----习题课1.从一副扑克牌（去掉大、小王）中任抽一张，设A=抽到K，B=抽到红牌，C=抽到J，那么下列事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)AB;(2)CA.与与点拨：利用相互独立事件的定义（即P(AB)=P(A)P(B)）可以判定两个事件是否为相互独立事件，这是用定量的方法进行分析的，定量计算可以较为准确、果断地判断两个事件是否相互独立，因此我们必须熟练掌握这种方法，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件之间的区别，也就是说若两个事件相互独立，则一定不能互斥（对立）；反之，若两个事件互斥（对立），则一定不能相互独立。41,5213261P(B)=.522111,13226解：(1)由于事件A为抽到K,事件B为抽到红牌，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件。以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K的概率为P(A)=抽到红牌的概率为故P(A)P(B)=ABK21,5226事件为既抽到又抽到红牌，即抽到红桃K或方块K,故P(AB)=从而P(A)P(B)=P(AB),因此A与B是相互独立事件。110,P(C)0,P(AC)0,1313CK(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件与事件A不可能同时发生，A与C互斥，由于P(A)=而所以A与C不是相互独立事件.又抽不到不一定抽到J,故A与C并非对立事件。2.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率。点拨：甲、乙两人分别击中目标为相互独立事件，故可以根据相互独立事件的概率公式求解。解：设甲射击一次，击中目标为事件A,乙射击一次,击中目标为事件B，则A与B相互独立，甲、乙两人都击中目标是事件AB,恰有一个击中目标是AB或AB，至少有一人击中目标是AB或AB或AB.(1)两人各射击一次，都击中目标就是事件AB，又事件A与B相互独立，P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64.(2)两人各射击一次，恰有一人击中目标包括两种情况：一种是甲击中乙未击中，即AB，另一种是甲未击中乙击中，即AB.根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件AB与AB是互斥的，所求概率为P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8=0.16+0.16=0.32.(3)1解法：两人各射击一次，至少有一个击中目标”的概率为P(AB)+[P(AB)+P(AB)]=0.64+0.32=0.96.解法2：两人都未击中目标的概率是P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.20.2=0.04,至少有一人击中目标的概率为1-P(AB)=1-0.04=0.96.解题归纳：在求事件的概率时，有时会遇到求“至少”或“至多”等事件的概率问题，它们是诸多事件的和或积，如果从正面考虑这些问题时，求解过程烦琐。但这些事件的对立事件的概率易求出，此时，可利用逆向思维，运用“正难则反”的思想求解。3.(1)P(A),P(B),P(AB);(2)36抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为蓝色骰子的点数为3或6，事件B为两颗骰子的点数之和大于8.求当已知蓝色骰子的点数为或时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？点拨：(1)利用古典概型公式求解.(2)利用条件概率公式求解.1211055P(A)=,P(B)=,P(AB)=.363361836解：(1)设x为掷红色骰子所得的点数，y为掷蓝色骰子所得的点数，对所有可能的事件与(x,y)建立对应关系，可知：(AB)5(2)1P(B|A).(A)12nn解法：5P(AB)5362P(B|A).1P(A)123解法：4.(1)某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有两个交通岗，假设他在这两个交通岗外遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6，计算：两次都遇到红灯的概率；(2)至少有1次遇到红灯的概率；点拨：本题考查相互独立事件，互斥(对立)事件概率的计算方法，以及运用概率知识解决实际问题的能力.对于至多至少等问题，常常先求其对立事件的概率。0.36.解：(1)记他第一次遇到红灯为事件A,他第二次遇到红灯为事件B,由题意知A与B是相互独立的，因此，他两次都遇到红灯就是事件AB,根据相互独立事件的概率乘法公式，得P(AB)=P(A)P(B)=0.60.6=0.36.所以,他两次都遇到红灯的概率是(2)解法1：A他第一次没有遇到红灯，B他第二次没有遇到红灯，所以AB=他第一次没有遇到红灯，第二次遇到红灯，AB=他第一次遇到红灯，第二次没有遇到红灯，并且AB与AB是互斥的，P[(AB)(AB)]=P(AB)+P(AB)=(1-0.6)0.6+0.6(1-0.6)0.48.1P(AB)P[(AB)(AB)]0.360.480.84.10.84.因此，他恰有一次遇到红灯的概率是所以他至少有次遇到红灯的概率是所以他至少有次遇到红灯的概率是110.84.解法2：他两次都未遇到红灯的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.40.4=0.16.所以至少有次遇到红灯的概率是1-0.16=0.84所以他至少有次遇到红灯的概率是5.23.34(2)4甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；求甲射击次，恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.(2)3点拨：(1)利用独立事件同时发生的概率求解.恰有次连续击中包括前3次和后3次连续击中这两个互斥事件.(3)包括前2次击中，后2次连续不中和只有第二次击中，其余3次均未击中这两个事件.(1)231.342解：记事件A表示甲击中目标，事件B表示乙击中目标，依题意知事件A和事件B相互独立，因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB)=P(A)P(B)=414112323412323412342341(2),CAAAAAAAA,AAAAAAAAAAAAAA(,1,2,3,4,)2,3AAiijiiCijij1记事件A表示甲第次射击击中目标(其中=1,2,3,4)，并记甲4次射击恰有3次连续击中目标为事件则事件且与是互斥事件，由于，，，之间相互独立，所以与且之间也相互独立.由于P(A)=P(A)=P(A)=P(A)=故P(C)=P(41232344112323433AAAAAAP(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)211216()().333381)=34134341341221221234341122(3),,(,1,2,3,4,)3P(1,2,3,4).P()4PiijiiiDBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBijijBiDBBBBBBB记事件B表示乙第次射击击中目标(其中=1,2,3,4)，并记事件D表示乙在第4次射击后终止射击则且与是互斥事件，由于，，，之间相互独立，所以与且之间也相互独立.由于()=故=(343413412234134122223P)PP()P()P()P()P()P()P()P()31313()()().444464BBBBBBBBBBBBBBBBB)=(()=解题归纳：求某些事件的概率时，应首先确定事件间的关系，即两事件是互斥事件或对立事件，还是相互独立事件，然后再判断事件发生的情况，最后确定是利用和事件概率公式还是积事件概率公式进行概率计算.6.1134(1)2(2)2(3)甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：个人都译出密码的概率；个人都译不出密码的概率；恰有1个人译出密码的概率；(4)至多1个人译出密码的概率；(5)至少1个人译出密码的概率..(3)1点拨：我们把甲独立地译出密码记为事件A,把乙独立地译出密码记为事件B,显然A,B为相互独立事件，问题(1)相当于事件A,B,同时发生，即事件AB.问题(2)相当于事件AB问题相当于事件AB+AB.问题(4)至多1个人译出密码的对立事件是2个人都译出密码(即事件AB).问题(5)至少个人译出密码的对立事件是2个人都未译出密码(即事件AB).由于A与B是相互独立事件，故A与B，A与B，A与B都是相互独立事件，可以用公式计算相关概率.1,31.4解：记甲独立地译出密码为事件A,乙独立地译出密码为事件B,A与B为相互独立事件，且P(A)=P(B)=111.3412(1)2个人都译出密码的概率为：P(AB)=P(A)P(B)111(1)(1).342(2)2个人都译不出密码的概率为：P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)][1-P(B)]1P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)11115=(1)(1).343412(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有个人译出密码的概率为：111111.3412(4)至多1个人译出密码的对立事件为2个人都译出密码，所以至多1个人译出密码的概率为：=1-P(AB)P(A)P(B)23111.342(5)至少1个人译出密码的对立事件为2个人都未译出密码，所以至少1个人译出密码的概率为：=1-P(AB)P(A)P(B)7.三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，求乙队连胜四局的概率.点拨：乙队每局胜利的事件是相互独立的，可由其公式计算概率.2222341341解：设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A),其概率为1-0.4=0.6，第一局中乙胜丙(A),其概率为0.5，第一局中乙胜甲(A),其概率为1-0.4=0.6，第一局中乙胜丙(A),其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为P(A)=P(AAAA)=0.60.5=0.09..a解题归纳：(1)求复杂事件的概率一般可分三步进行：列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；b.理清各事件之间的关系，列出关系式；c.根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.(2)直接计算符合条件的事件个数较复杂，可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.8.ABA14设事件与相互独立，两个事件中只有发生的概率与只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率.ABA11BP(A)P(B),44111P(AB)P(A)P(B).4416错解：与相互独立，且只有发生的概率和只有发生的概率都是，错解辨析：对题意理解有误，误认为两个事件中只有A(或B)发生的概率与事件A(或B)发生的概率是一回事，没有把只有A发生转化为AB和只有B发生转化为AB.,1,41,412P(AB)=P(A)P(B)正解：在相互独立事件A和B中，只有A发生，即事件AB发生，只有B发生，即事件AB发生.A和B相互独立，A和BA和B也相互独立，P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)]P(B)=由以上两式可得，P(A)=P(B)=.111=.224