偏导数及其应用

SCIENTIST36科学前沿论坛1偏导数的概念及其基本性质偏导数的定义：假设二元函数z=f(x,y),点(x0，y0)是在函数定义域内的某一点，把y0固定而使得x0处x有增量△x，于是z关于x的偏导数即为，记为记fx(x0，y0)。同理固定x0即得z关于y的偏导数。类似于导数，当我们令fx(x，y)=0，fy(x，y)=0，即得到多元函数的一个驻点。再通过二阶偏导的判断，可以找出函数的极值点从而确定函数的最值。同理，对于多元函数，即将其中的一个自变量当做变化的，其余自变量固定，即可求出对于各个自变量的偏导。其中值得一提的是，对于一元函数而言，不连续的函数的导数时没有意义的。例如，对于y=|x|这个函数，在x=0处不连续，于是这个函数在x=0处没有导数。而对于多元函数的偏导，不连续未必说明不可导，而可导也未必说明连续。下面举个例子来说明：对于这个函数。我们通过定义来取它在x=0，y=0处的导数：考虑到，y=0，.但实际上，该函数在x=y=0处，函数并非为连续函数，对于函数无意义，而实际函数值为0。2极值点的确定通过多元函数在各个方向的偏导数等于0，不难求出函数的驻点。但驻点未必是极值点。例如对于z=xy，(x,y)=(0,0)是这个多元函数的一个驻点。但显然这不是一个极值点。于是，便需要一个判断极值点的方法。在一元函数中，我们判断驻点是否是极值点，只需判断驻点两端导数符号。或者更简单的方法如下：已知＞或者＜0，则这是一个极值点。但这是一个充分不必要条件。实际上即使二阶导数等于0，也有可能二阶导数仍然是单调的，也就是这个驻点实际上也是极值点。另外，若，为极小值，驻点实际上也是极值点。另外，若为极大值。而对于多元函数，我们参照上面的方法，对它求二阶偏导。记A=fxx（x，y），B=fxy（x，y），C=fyy（x，y），则如果AC-B2为其一判别式。若该判别式大于0，则驻点为极值，且当A＞0时，为极小值，A＜0时，为极大值。而若判别式小于0，则不存在极值。判别式等于0，则可能存在也可能不存在，既需要通过定义或者图像判断。3最大值与最小值的判断极值未必是最值。例如y=x3-3x对于这个一元函数，可知其存在极值点-1与1，其中f(-1)=2为极大值，f(1)=-2为极小值。而我们尝试代入x=3，f(3)=18＞f(-1)，可知f(-1)虽为极大值，但并非为最大值。对于多元函数同样如此。例如z=x3-3x+y3-3y对于这个二元函数，可知其驻点有4个，为（-1，-1），（-1,1），（1，-1），（1，1），通过二阶导数可知（-1，-1）为极大值点，（1,1）为极小值点。而我们代入点（3,3），同样可以发现，（-1，-1）虽为极大值点，却并非是最大值点。因此，如果我们要找函数的最大值点，则必须将函数定义域D边界上的点加以验证比较。例：求z=x2+y2在定义域为y=-x+3与坐标轴围成的区域内的最大值与最小值。首先，先对其进行偏导，另fx=0，fy=0，得其驻点为（0,0）。而AC-B2=2，确定这是一个极小值点。下面对边界进行讨论。可知其中y=-x+3边界的点满足y=-x+3这个方程，将约束条件代入原函数，z=2x2-6x+9，通过配方或者求导可知该一元函数在定义域内单调递减，于是得出该边界上范围为[5,9]。同理，对于坐标轴边界上的点，采用同样的处理方法，分别令x=0，与y=0，求出的范围均为[0,1]。于是这个函数的最小值与极小值相等，等于0，最大值为9。4含有约束条件的偏导数问题求法在实际情况中，问题往往不能简单的抽象为一个函数本身的最值问题，往往还存在约束条件。有些情况下的约束条件很好处理。例如求z=x2+y2在约束条件下y=x+1的最小值，我们只需将函数中的y换成x就可以很轻松的求出最小值。但是对于某些约束条件却不是那偏导数及其应用丁志诚南京师范大学附属中学江宁分校，江苏南京211102摘要当今社会，随着实际工作中最优化问题的出现，函数问题变得越来越重要。很多问题，需要考虑的因素可能不止一个方面，此时往往就会采用多元函数的方法。处理多元函数问题，偏导数是个很强力的武器。在数学学习中，偏导数能够处理各类最值问题，为数学研究带来极大的方便。而在应用中，偏导数能够在不同领域，尤其是经济学以及规划方面起举足轻重的作用。本文先对偏导数的概念以及基本性质进行阐述，然后具体阐述偏导数在求最值问题上的应用。同时介绍拉格朗日乘数法，阐述偏导数在求条件最值方面的用法。对于偏导数求最值的用法,本文在每一种最值上都举了例子从而表明求最值的方法。最后介绍偏导数在不等式求解和经济学方面的一些简单应用，从而对偏导数的实际生活应用层面进行探讨。关键词偏导数；极值；最值；拉格朗日乘数法；交叉弹性中图分类号O1文献标识码A文章编号2095-6363（2016）15-0036-02作者简介：丁志诚，南京师范大学附属中学江宁分校，研究方向为数学。2016年第15期SCIENTIST37么方便。例如求z=2x2+y2在的约束下的最值。我们会发现，约束条件很难化为关于的式子形式。此时，除了运用不等式的方法来求解，我们可以利用拉格朗日乘数法来求解。拉格朗日乘数法：设给定二元函数z=f(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=f(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),其中λ为参数。令F(x,y,λ)对x,y,λ的一阶偏导数等于零，即由上述方程组解出x,y,λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点[1]。此时在代入λ进行二阶导数的验证，我们就可以找出这个函数的极值点。有了求解函数最大值与最小值的方法，偏导数便有了很多的应用。首先，我们可以将函数与不等式建立联系，偏导数在求解某些复杂的不等式最值的时候就可以起到很大的作用。就以上文中的那个例子为例，求z=2x2+y2在的约束下的最值。设分别对进行偏导,得到联立上述方程组得出，对于此不等式没有其他约束条件，若存在最值必在驻点处。于是直接代入得到。对于某些问题，拉格朗日乘数法更是方便。例如已知a，b，c0,a+b+c=1，求最值。本题通过Jensen不等式也可以比较方便的求出来。不过，我们可以尝试一下拉格朗日乘数法。另分别对a,b和λ进行偏导，得到于是另3个方向上的导数为0，a=b=c显然成立，而可以发现a,b,c中其中一项的符号与其余两项相反也可以成立。于是就找到了两个驻点。代入求得最值。如果使用琴生不等式，则仍需对二阶导进行讨论，发现x大于0时，二阶导大于0，而x小于0时相反。于是Jensen不等式需要进行讨论。这个问题Jensen不等式仍旧可以解决。但对于某些二阶导情况复杂的类似不等式，由于可以将式子其中两项完全看为常数，求二阶导数会变得很方便，拉格朗日乘数法可以成为研究它们的强大武器。拉格朗日乘数法和偏导数直接最值法在生活中均有十分广泛的应用。实际问题中，往往有不止一个影响因素。在高中的应用题之中，我们往往会已经找到了相关量的关系。但实际中相关量的关系不一定有这么简单，有时很难做到直接将一个量用另外一个的函数来表示。这时，我们就可以根据构造二元函数的方法来求到最值。5多元函数及其偏导数在实际生活中的运用多元函数及其偏导数在实际生活中的应用十分广泛。尤其在经济学上有着举足轻重的作用。在经济学上，为了来度量一种产品销量变化对于另一种产品销量变化的影响，我们引入交叉弹性的概念。假设一种产品的销售量为Qx，其价格为Px。另一种产品的销售量为Qy，其价格为Py。其中引入交叉弹性系数由于两种产品之间都存在关系，我们可以令Qx=f(Px,Py)，于是根据偏导数，我们可以很容易的来分别两种产品是替代品还是互补品。同理，对于这个产品自己本身的弹性，我们只需要改为Qx在Px方向上偏导即可。有了偏导数，我们在市场统计得到产品直接的关系后，分析这种弹性关系就变得简单的多。参考文献[1]黄坚.高等数学[M].北京：科学出版社，2010.家都无法证实的问题，在今后的量子力学发展中，也将成为热门话题，引发人们探讨。4结论总而言之，我们要想真正去认识这个日益复杂的世界就必须要用科学全面的物理理论体系来武装我们的大脑，量子力学作为现代物理学哲学的重要理论，它的每一个观点都是众多科学家经过多年推敲出来的。同样“多世界解释”这一理论体系虽然已经占领了主导地位，显示出强大的潜力，但是其本身理论仍处于发展阶段，仍有相悖之处，有待我们深入探讨。只有不断地完善相关物理学理论，将理论充分运用到实际当中，才能促使社会文明不断发展。参考文献[1]鞠治安，潘平，周惠玲.量子力学视域下“三个世界”的释义[J].科技文化研究，2016（5）.[2]成素梅.量子力学多世界解释的哲学要旨[J].科技哲学研究，2015（2）.[3]张丽.量子测量中的多世界解释理论研究述评[J].哲学动态.2010（7）：85-90.[4]李宏芳，贺天平.量子测量理论的认识论发展及新趋向从多心解释到退相干解释与量子统计的结盟[J].科学技术与辩证法.2008，25（2）：36-40.（上接第32页）