建模论文----贷款问题

数学建模期末论文题目：贷款模型学院：数学科学学院学号：1110500129姓名：张鑫玥题目一：还款问题张鑫玥（数科院2班1110500129）【摘要】随着我国的改革开放和国民生活水平的提高，人们不仅仅要求吃饱、穿暖，而是把目标定为：吃好，穿好，住好，所以房子成了人们的最基本的目标。在每个人的生活中，最不可缺少的就房子，它是一个人一生必需的物品。其实，从原始时代的住所发展到现在的高楼大厦，已经展现了人们对房子的重视。随着房价的不断增长，传统的房屋买卖方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的是银行按揭贷款买房这种新的购房趋势，目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般有等额本息法,等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，等比递增还款法，等比递减还款法。所以每一个打算贷款买房的人要根据自己的实际情况，作出一个合理的还款方案。在本次购房贷款问题所举的案例，小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。在还款过程中，根据银行利率和小王夫妇的实际情况，他们可以采用等额本息还款和等额递增还款法等不同的方式，考虑到这些因素，我们运用数学建模的方法，通过建立购房贷款模型，结合实际情况对各种还款方式进行分析比较，得出最佳方案。【关键词】购房贷款等额本息还款等额递增还款1问题的提出与分析小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。在这20年间，他们采用等额还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。但随着自身的经济能力的变化，在一段时间后，如果他们有能力还清剩余贷款时，我们要计算余下的贷款额；如果银行的贷款利率在一段时间后有所变化，他们仍然采取等额还款方式，那么要计算在余下的时间内他们每个月的还款额；如果他们一开始选择逐步增加还款额的方式来偿还贷款，我们要计算每月的还款额和所需还款时间。小王夫妇贷款购买房子，在一定年限内必须还清贷款。在还款过程中，他们选择的是按月还款。问题一在银行贷款利率不变的情况下，他们采用等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。问题二是在问题一的基础上，在5年后，一次性付完剩余贷款。问题三是在问题一的基础上，5年后，银行贷款利率增长后，仍然选择等额本息还款方式。问题四则是等比递增还款（第1年的每月还款增加20%）2模型的假设及符号说明2.1模型的假设为了使问题更加明了清晰，便于计算，故作出以下假设：①假设该人每月能够按时支付房屋贷款所需的还款金额；②假设货币价值在贷款期限内，不受外界因素影响，即不会发生升值、贬值；③假设在一定时间内，银行贷款利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀、国家政策影响。2.2模型的符号说明A:小王向银行贷款的总额（元）B：小王月还款额（元）C:小王应向银行还款的总额（元）R：小王的利息总和（元）kc：剩余还款额（元）r:小王向银行贷款的月利率n:贷款期限（月）3模型建立离散变量Bcrckk1)1(，其中0,0ncAc10)1()1(1)1(kkkrrBcrc,1)1()1(kkkrrBrAc其中3,2,1k所以每月还款额ArrrBnn1)1()1(3.1等额本息模型3.1.1在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？每月等额本息还款：ArrrBnn1)1()1(小王向银行还款的总额：nArrrnBCnn1)1()1(所以总利息是：AArnrrACRnn1)1()1(其中200000A，240n，006.0r3.1.2在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？即求五年后剩余贷款额,1)1()1(kkkrrBrAc其中60k3.1.3如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%／月调到0.8%／月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？银行利率变动使得第五年后等额还款B发生变动11)1(111kkkrrBrAc其中rr1，60k60121522121521111crrrB60180221802111crrr3.2等比递增模型等比还款法是在等额本息还款法的基础上发展起来的，这种方法的特点是：把还款的期限分为几个阶段，每个阶段内的还款度是不同的。3.2.1小王夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此，打算采用逐步增加还款额的还款方式来偿还贷款，具体的办法是：如果第1年的每月还款增加20%，每月应还多少？多长时间还清？每个银行都有为此设计的计算器，只要输入以下几个参数就可以立刻给出答案，这几个参数是：贷款金额、贷款年限、贷款年利率、从第几期开始变动、每隔几期变动一次、调整后的金额跟调整前的金额之比.111)1(,BArcBBk21212)1(,%)201(BcrcBBkk32313)1(,%)201(BcrcBBkk1111121112)1(,%)201(BcrcBBkk4模型的求解3.1.1B=1574.70（元）R=177927.70（元）3.1.290.173034kc（元）3.1.333.18171B（元）3.1.486.15123315.1170024.16196213.975024.17068811.812587.17774692.677029.18341743.564212.18793203.470224.19148536.391817.19423830.326552.19632508.272144.19785957.226741.19893364.188930.19962570.1574121211111010998877665544332211kkkkkkkkkkkkcBcBcBcBcBcBcBcBcBcBcBcB5模型的评价在建立购房贷款的数学模型时，主要应用了差分方程建模的理论。差分方程反映了关于离散变量的取值与变化规律。结合购房贷款中小王夫妇的例子来看，其中的还款方式主要是等额本息还款法和等额递增还款法。等额本息还款法指在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；等额递增还款法是指在贷款期后的一段时间内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定的增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。而案例中也包括银行贷款利率的变化及贷款人经济状况的改变所引起的还款额的变动。通过建立差分方程，我们进一步结合具体的数据进行计算。在对运算结果的比较和分析中，可以得到各种还款方法的利弊。在分别采取等额本息还款法和等额递增还款法的情况下，对于前几个与的还款额，采用等额递增还款法要少于等额本息还款法，但当5年后一次性付完所有剩余款时，等额递增还款法要大于等额本息还款法。因此，我们知道等额递增还款法适合于期限较短的还款情况，而等额本息还款法更适用于还款期限长，且能在一段时间后一次性还清贷款的情况。选择哪种还款法主要应该根据个人经济状况来定。比如，刚参加工作不久的年轻人，最好选择等额递增还款法或等额本息还款法；对于预期以后可支配收入会下降的人群，则应该选择等额本金还款法或等额递减还款法。7参考文献《数学建模简明教程》戴朝寿孙世良编著高等教育出版社《数学建模》沈继红编著哈尔滨工程大学出版社1998《数学模型》姜启源谢金星叶俊高等教育出版社《数学建模与数学实验（第3版）》赵静但琦高等教育出版社2008.18附录8.1Matlab:AnBRnrArnrBnAr*]1)^1/[(**)^1(240200000006.0)1(rkrBkrACArk/]1)^1[(*)^1(*200000006.0601F)2(CnrrnrBrkrBkrACnArrk*]1)*12()^21/[(2*)*12()^21(11/]1)^11[(*)^11(*15200000008.02006.01601F)3(8.2不同还款方式的比较