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现代控制理论ModernControlTheory(9)俞立浙江工业大学信息与控制研究所第5章状态反馈控制器设计9建立了状态空间模型9提出了基于状态空间模型的运动分析9探讨了系统的定性分析：稳定性、能控性、能观性认识世界⇒如何来改变世界？！设计控制系统！开环控制、闭环控制经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的输入；根据系统信息：状态反馈、输出反馈5.1线性反馈控制系统系统模型反馈控制系统结构。v为外部输入；控制器：动态补偿器、静态反馈控制器。状态反馈控制器：称为是状态反馈增益矩阵。闭环系统：CxyBuAxx=+=被控对象控制器yv+_vKxu+−=KCxyBvxBKAx=+−=)(∫ABKuxv_Cy静态线性输出反馈控制：⇒若v表示系统的参考输入，用代替之，可得用输出误差来校正系统。当时，状态反馈变为输出反馈。一类特殊输出反馈。vFyu+−=CxyBuAxx=+=CxyBvxBKAx=+−=)(∫ABFuxv_CyrFyv=)(ryyFu−−=FCK=5.1.2反馈控制的性质在静态反馈下，闭环系统矩阵变为和结论：反馈可以改变系统的动态特性。定理5.1.1状态反馈不改变系统的能控性。例考虑系统在状态反馈下的闭环系统能控能观性。结论：能控，不能观。BKA−BFCA−xxx]10[,100110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=yux]01[−=u⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−0010]01[100110BKA⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−0110])([BBKAB⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−0010)(BKACC状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。定理5.1.2输出反馈不改变系统的能控能观性。定理5.1.3状态反馈不能改变单输入单输出系统的零点反馈形式的讨论：¾静态反馈不增加系统动态特性；¾状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性；¾输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能；¾利用系统的信息多，所能达到的性能好。ssssss11001]10[)]([211==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−−BBKAIC5.2稳定化状态反馈控制器设计基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器系统模型：控制律：闭环系统：闭环系统渐近稳定的充分必要条件是：关键的问题：如何确定以上的矩阵K和P。介绍两种方法。BuAxx+=Kxu−=xBKAx)(−=PxxxT)(=V5.2.1黎卡提方程处理方法如何使得是闭环系统的李雅普诺夫方程？矩阵P是对称的，若选取⇒PxxxT)(=VPBuxPxBuxPAPAxPBuxPAxxPxBuPxAxBuAxPxPxBuAxxPxPxxxTTTTTTTTTTTTT)()()()(d)(d+++=+++=+++=+=TtVPBuxxPAPAxxTTT2)(d)(d++=tVPxBuPBuxTTT=0,T−=kkPxBuxPPBBPAPAxPxPBBxxPAPAxx)2(2)(d)(dTTTTTTTkktV−+=−+=IPPBBPAPA−=−+TT2k0d)(dT−=xxxtV控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题：（黎卡提矩阵方程）优点：若对给定的常数，以上矩阵方程有解，则对任意的，都是系统的稳定化控制律。结论：正无穷大的稳定增益裕度！例设计系统的一个稳定化状态反馈控制律取k=1，则0=+−+IPPBBPAPATT2k0k0kk≥PxBuTk−=uxxxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10011021210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1001]10[102011001103221322132213221pppppppppppppppp展开矩阵方程，得到求取一个正定的解矩阵对任意的，稳定化控制律：线性矩阵不等式处理方法。02012201223231232222=−−=+−=+−−pppppppp23,2)31(,233321=+−==ppp1≥k[]xxPxB4132T3312][+−−=−=−=kppkku5.3极点配置系统性能：稳态性能和动态性能稳态性能：稳定性、静态误差动态性能：调节时间、振荡、超调、上升时间...系统稳定性的决定因素：系统极点影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置）高阶系统（一对主导极点）结论：极点影响系统的稳定性和动态性能闭环系统：问题：根据系统性能要求确定闭环极点，求矩阵K，使得xBKAx)(−=nλλλ,,,21)(BKA−σ},,,{21nλλλ=回答两个问题：9在什么条件下，极点配置问题可解？即存在使得闭环系统具有给定极点的控制器。9如何设计具有给定闭环极点的控制器？解决问题的思路：首先对特殊的系统讨论；对一般的系统，设法化成特殊系统分析算法的可行性。从能控系统入手，以3阶能控标准型为例：状态反馈控制律：uaaa⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=100100010210xx[]x210kkku−=得到的闭环系统是其特征多项式是期望的闭环特征多项式要实现极点配置，须⇒⇒得到增益矩阵KxAxxckakaka=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=22110010001000112223)()()det(kakakac++++++=−λλλλAI01223321))()((bbb+++=−−−λλλλλλλλλ0122300112223)()(bbbkakaka+++=++++++λλλλλλ222111000bkabkabka=+=+=+⎪⎩⎪⎨⎧−=−=−=222111000abkabkabk结论：9对3阶能控标准型系统，极点配置问题可解；9导出了极点配置状态反馈控制律；9极点配置状态反馈控制律是惟一的。例对系统设计状态反馈控制律，使得闭环系统的极点是-2和-3⇒闭环特征多项式：期望特征多项式：u⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=103210xxx][10kku−=xx⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=103210kk0122)3()det(kkc+−++=−λλλAI65)3)(2(2++=++λλλλ比较可得：⇒极点配置状态反馈控制律：闭环系统状态变量图：652)3(2012++=+−++λλλλkk625301=+−=+kk8201==kk⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=21]28[xxu∫∫x2x132u28___以上的方法可以推广到n阶能控标准型模型问题：对一般状态空间模型，如何解极点配置问题？思路：考虑能控状态空间模型将能控状态空间模型等价地转化为能控标准型如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极点配置控制器。[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=−−−dubbbbyuaaaannnxxx121012101000100001000010##%###系统模型假定该状态空间模型是能控的，则存在线性变换其中对能控标准型和给定的极点，可得极点配置状态反馈增益矩阵BuAxx+=Txx=~BTBATAT~,~1==−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=−1000~,100001000010~1210##%###BAnaaaa1]),[](~,~[−ΓΓ=BABATcc0111)det(aaannn++++=−−−λλλλAI},,,{21nλλλ=ΩK~即：问题：目前的增益矩阵用到变换后的状态。如何得到适合于原来模型的控制律呢？利用特征值的关系：记，则定理对一个能控系统，可以通过状态反馈任意配置闭环系统极点。理论上可以证明：若一个系统可以通过状态反馈任意配置极点，那么它一定是能控的。Ω=−)~~~(KBAσΩ=−=−=−−−)~(])~([)~(11TKBATTKBATKTBTATσσσTKK~=Ω=−)(BKAσ极点配置状态反馈控制器的设计算法给定系统模型和闭环极点1。检验系统的能控性；2。根据确定参数4。确定期望特征多项式系数5。确定极点配置反馈增益矩阵BuAxx3。确定转化为能控标准型的变换矩阵+=},,,{21nλλλ=Ω0111)det(aaannn++++=−−−λλλλAI110,,,−naaa1]),[](~,~[−ΓΓ=BABATcc011121)))bbbnnnn++++=−−−−−λλλλλλλλλ（（（[]TK11221100−−−−−−−−=nnnnabababab例已知被控系统的传递函数是设计一个状态反馈控制器，使得闭环极点是-2，解确定能控标准型实现状态反馈控制器，闭环多项式：期望多项式：)2)(1(10)(++=ssssGj1±−[]xxx0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=yuKx−=u][321kkk=K12233)2()3()](det[kkk+++++=−−λλλλBKAI464)j1)(j1)(2(23+++=++−++λλλλλλ实现极点配置的条件：⇒极点配置状态反馈控制器是分析：优点：能控标准型使得计算简单；缺点：能控标准型中的状态往往难以直接测量；解决方法：考虑新的实现。串连分解46243123==+=+kkk1,4,4321===kkkx]144[−=u21+s11+ss110ux3x2x1y状态空间实现是直接法反馈增益矩阵21+s11+ss110ux3x2x1y[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=xxx0010100200110010yu][321kkk=K][100200110010321kkk⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−BKA⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=3212110010kkk闭环特征多项式期望特征多项式比较后可得极点配置状态反馈控制器是变换法确定变换矩阵⇒132233)2()3()](det[kkkk++++++=−−λλλλBKAI464)j1)(j1)(2(23+++=++−++λλλλλλ1,3,4321===kkkx]134[−=uλλλλ23)det(23++=−AI⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=100~,320100010~BA⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=ΓΓ=−110010001]),[](~,~[1BABATcc极点配置状态反馈增益矩阵直接法和变换法得到的结果是一致的。惟一性。例对系统设计状态反馈控制器，使得闭环系统渐近稳定，且闭环系统的输出超调量，峰值时间[][][]134110010001144221100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−−−=TKabababs1uy61+s121+s5%σ≤0.5pts≤系统的一个状态空间模型系统是能控的，故可以通过状态反馈任意配置极点。系统无开环零点，闭环系统性能完全由极点决定！一对主导极点：ζ和是二阶系统的阻尼比和无阻尼自振频率可得[]xxx0011006001120010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=yunζωλ−=2,121jζω−±nnω5.01%,5)1exp(22≤−=≤−−=ζωπζζπσnpt9,707.0≥≥nωζ取，则为保证主导极点，第3个极点选为，期望特征多项式：原模型等价变换为能控标准型10,707.0==nωζ07.7j07.71j22,1±−=−±−=ζωζωλnn3110100λλ==1003−=λ1000015101.114)1001.14)(100()2)(100()(23222+++=+++=+++=Δλλλλλλωλζωλλλnn[]xxx00110018720100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=yu⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1120010001T要求的状态反馈增益矩阵闭环系统：单位阶跃响应：峰值时间在0.4到0.5秒之间[][][]1.968.2841000011200100011.96143810000221100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−−−=TKababab010012110000284.8102.1[100]yx⎡⎤