柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析

柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析哈尔滨工业大学市政学院摘要：运用热力学第一定律，建立温度场，利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题关键词：柱坐标球坐标导热微分方程1.柱坐标系下导热微分方程假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c和密度ρ均为已知，并假设物体内具有内热源。用单位体积单位时间内所发出的热量qv(w/m*3)表示内热源的强度。基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体，如图。根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析，那么在dτ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于微元体热力学能的增加，即导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中热力学能的增加（Ⅲ）下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三项：在dτ时间内，沿r轴方向：dzdrdrtddzdrdqrrtrdzdrdqrrdzddrdrtrrddrdrdddrrrrrdrr)(○1在dτ时间内，沿轴方向：drdzdtrtrqdrdzdq11dzddrdtrddd)1(○2在dτ时间内，沿z轴方向：drdrdztztqdrdrdqzzzzdzddrdztrzzdzdzzzzzdzz)(○3将r、Φ、z三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到:I=○1+○2+○3在dτ时间内，微元体中内热源的发热量为Ⅱ=dzdrrdrdqv在dτ时间内，微元体中热力学能的增量为Ⅲ=dzdrdrdtc联立I，III，II可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式：)()(1)(12ztztrrtrrrrqtcv2.球坐标系下导热微分方程在球坐标系中，从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。在dτ时间内，沿r方向导入和导出微元体的净热量：dddrdrtrrrdrrtqdddrqdrrrrrdrrrrr)sin(sin22且○1在dτ时间内，沿方向导入和导出微元体的净热量：dddrdtdtrqdzrdrdqdd)sin1(sin1且○2在dτ时间内，沿方向导入和导出微元体的净热量：dddrdtdtrqddrdrqdd)sin(1sin且○3将r、、三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到:I=○1+○2+○3在dτ时间内，微元体中内热源的发热量为Ⅱ=dddrdrqvsin2在dτ时间内，微元体中热力学能的增量为Ⅲ=dddrdrtcsin2联立I，II，III可得导热微分方程在圆球坐标下的公式：)sin(sin1)(sin1)(122222trtrtrrrqtcv3.总结得出当分析同一个问题时，有多种不同的分析方法。使用不同的分析方法会使我们分析问题的过程不一样，但是不会影响问题分析的结果。遇到不同的情况就要选择不同的分析方法。就上述问题而言，当分析的对象是一般平面物体，选择直角坐标系比较方便。但是当所分析的对象为轴对称物体（圆柱，圆筒或圆球），采用柱坐标系或球坐标系更为方便。参考文献1.传热学（第六版）章熙民朱彤中国建筑工业出版社2.工科数学分析哈尔滨工业大学数学系分析教研室高等教育出版社