实变函数证明大全(期末复习)

1、设',()..ERfxEae是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R上的一列连续函数{}ng，使得lim()()..nngxfxae于E。证明：因为()fx在E上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n，存在E的可测子集nE，使得1()nmEEn，同时存在定义在1R上的连续函数()ngx，使得当nxE时，有()()ngxfx所以对任意的0，成立[||]nnEfgEE由此可得1[||]()nnmEfgnmEEn，因此lim[||]0nnmEfgn即()()ngxfx，由黎斯定理存在{}ng的子列{}kng，使得lim()()knkgxfx，..ae于E2、设()(,)fx是上的连续函数，()gx为[,]ab上的可测函数，则(())fgx是可测函数。证明：记12(,),[,]EEab，由于()fx在1E上连续，故对任意实数1,[]cEfc是直线上的开集，设11[](,)nnnEfc，其中(,)nn是其构成区间（可能是有限个，n可能为n可有为）因此222211[()][]([][])nnnnnnEfgcEgEgEg因为g在2E上可测，因此22[],[]nnEgEg都可测。故[()]Efgc可测。3、设()fx是(,)上的实值连续函数，则对于任意常数a，{|()}Exfxa是一开集，而{|()}Exfxa总是一闭集。证明：若00,()xEfxa则，因为()fx是连续的，所以存在0，使任意(,)x，0||()xxfxa就有，即任意00U(,),,U(,),xxxExEE就有所以是开集若,nxE且0(),()nnxxnfxa则，由于()fx连续，0()lim()nnfxfxa，即0xE，因此E是闭集。4、（1）设2121(0,),(0,),1,2,,nnAAnnn求出集列{}nA的上限集和下限集证明：lim(0,)nnA设(0,)x，则存在N，使xN，因此nN时，0xn，即2nxA，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多nA，得limnnxA，又显然lim(0,),lim(0,)nnnnAA所以limnnA若有limnnxA，则存在N，使任意nN，有nxA，因此若21nN时，211,0,00nxAxnxn即令得，此不可能，所以limnnA（2）可数点集的外测度为零。证明：证明：设{|1,2,}iExi对任意0，存在开区间iI，使iixI，且||2iiI所以1iiIE，且1||iiI，由的任意性得*0mE5、设nf是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。证：显然，{}nf的收敛点集可表示为0[lim()lim()]nnxxEExfxfx=11[limlim]nnxxkEffk.由nf可测limnxf及limnxf都可测，所以limlimnnxxff在E上可测。从而，对任一自然数k，1[limlim]nnxxEffk可测。故011[limlim]nnxxkEEffk可测。既然收敛点集0E可测，那么发散点集0EE也可测。6、设qRE，存在两侧两列可测集{nA}，{nB},使得nAEnB且m（nA-nB）→0，（n→∝）则E可测.证明：对于任意i，innBB1，所以EBEBinn-1又因为EAi，iiiABEB所以对于任意i，)(**1EBmEBminn）（)(*iiABm)(iiABm令i→∝，由)(iiABm→0得0*1）（EBmnn所以EBnn1是可测的又由于nB可测，有nnB1也是可测的所以)(11EBBEnnnn是可测的。7、设在E上nfxfx，而nnfxgx..ae成立，1,2n，则有ngxfx设nnnEEfg，则110nnnnmEmE。01nnnnEfgEEff所以1nnnnnmEfgmEmEffmEff因为nfxfx，所以0limlim0nnnnmEfgmEff即ngxfx8、证明：()ABAB。证明：因为AAB，BAB，所以，()AAB，()BAB，从而()ABAB反之，对任意()xAB，即对任意(,)Bx，有(,)()((,))((,))BxABBxABxB为无限集，从而(,)BxA为无限集或(,)BxB为无限集至少有一个成立，即xA或xB，所以，xAB，()ABAB。综上所述，()ABAB。9、证明：若()()nfxfx，()()nfxgx（xE），则()()fxgx..ae于E。证明：由于11[()()][]nExfxgxExfgn，而111[][][]22nnExfgExffExfgkkk，所以，111[][][]22nnmExfgmExffmExfgkkk，由()()nfxfx，()()nfxgx（xE）得1lim[]02nnmExffk，1lim[]02nnmExfgk。所以，1[]0mExfgk，从而[()()]0mExfxgx，即()()fxgx..ae于E。10、、证明：若()()nfxfx，()()ngxgx（xE），则()()()()nnfxgxfxgx（xE）。证明：对任意0，由于()()[()()]()()()()nnnnfxgxfxgxfxfxgxgx，所以，由()()[()()]nnfxgxfxgx可得，1()()2nfxfx和1()()2ngxgx至少有一个成立。从而11[[]][][]22nnnnExfgfgExffExgg，所以，11[[]][][]22nnnnmExfgfgmExffmExgg。又由()()nfxfx，()()ngxgx（xE）得，1lim[]02nnmExff，1lim[]02nnmExgg。所以，lim[[]]0nnnmExfgfg，即()()()()nnfxgxfxgx（xE）。11、若()()nfxfx（xE），则()()nfxfx（xE）。证明：因为()()()()nnfxfxfxfx，所以，对任意0，有[][]nnExffExff，[][]nnmExffmExff。又由()()nfxfx（xE）得，lim[]0nnmExff。所以，lim[]0nnmExff，即()()nfxfx（xE）。12、证明：1R上的连续函数必为可测函数。证明：设()fx是1R上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a，11[]{(),}RxfaxfxaxR是开集，从而是可测集。所以，()fx是1R上的可测函数。13、证明：1R上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设()fx是1R上的单调递增函数，对任意实数a，记inf{()}Axfxa，由单调函数的特点得，当{()}Axfxa时，{()}[,)xfxaA，显然是可测集；当{()}Axfxa时，{()}(,)xfxaA，也显然是可测集。故()fx是1R上的可测函数。14、设()()fxLE，nE是E的可测子集，且mE，若limnnmEmE，则lim()d()dnEEnfxxfxx。证明：因为nE是E的可测子集，且mE，所以，()nnmEEmEmE，从而由limnnmEmE得，lim()lim0nnnnmEEmEmE。又()()fxLE，由积分的绝对连续性，lim[()d()d]lim()d0nnEEEEnnfxxfxxfxx。15、设()()fxLE，若对任意有界可测函数()x都有()()d0Efxxx，则()0fx..ae于E。证明：由题设，取1,[()0]()0,[()0]1,[()0]xExfxxxExfxxExfx，显然()x为E上的有界可测函数，从而()d()()d0EEfxxfxxx。所以，()0fx..ae于E，即()0fx..ae于E。16、设()()fxLE，[]neEfn，证明（1）lim0nnme；（2）lim0nnnme。证明：由()d()dnneEnmefxxfxx得，（1）lim0nnme。（2）由（1），注意到()()fxLE，由积分的绝对连续性得，lim()d0nenfxx，从而注意到0()dnnenmefxx，所以，lim0nnnme。17、若()fx是[,]ab上的单调函数，则()fx是[,]ab上的有界变差函数，且()()()baVffbfa。证明：不妨设()fx是[,]ab上的单调增函数，任取[,]ab的一个分割011:iinTaxxxxxb则11011()()[()()]()()nniiiiniifxfxfxfxfxfx()()()()fbfafbfa，所以，11()sup()()()()nbiiaTiVffxfxfbfa。18、若()fx在[,]ab上满足：存在正常数K，使得对任意12,[,]xxab，都有1212()()fxfxKxx，则（1）()fx是[,]ab上的有界变差函数，且()()baVfKba；（2）()fx是[,]ab上的绝对连续函数。证明：（1）由题设，任取[,]ab的一个分割011:iinTaxxxxxb则111111()()()()nnniiiiiiiiifxfxKxxKxxKba，所以，()fx是[,]ab上的有界变差函数，且11()sup()()()nbiiaTiVffxfxKba。（2）在[,]ab内，任取有限个互不相交的开区间(,)iixy，1,2,,in。由于111()()nnniiiiiiiiifxfyKxyKxy，于是，对任意0，取K，则当1niiixy时，有11()()nniiiiiifxfyKxy，即()fx是[,]ab上的绝对连续函数。19、若()fx是[,]ab上的绝对连续函数，则()fx是[,]ab上的有界变差函数。证明：由()fx是[,]ab上的绝对连续函数，取1，存在0，对任意有限个互不相交的开区间(,)iixy，1,2,,in，只要1niiixy时，有1()()1niiifxfy。现将[,]ab等分，记分点为011iinaaaaaab，使得每一等份的长度小于。易得1()1iiaaVf，即()fx是1[,]iiaa上的有界变差函数。又11[,][,]niiiabaa，所以，11()()iinabaaiVfVfn，即()fx是[,]ab上的有界变差函数。20、若()fx是[,]ab上的有界变差函数，则（