点到直线、两平行线间的距离

点到直线的距离复习提问1、平面上点与直线的位置关系怎样？2、何谓点到直线的距离？答案:1.有两种,一种是点在直线上,另一种是点在直线外.2.从点作直线的垂线,点到垂足的线段长.LL1QP(x0,y0)L:Ax+By+C=0已知：点P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0，怎样求点P到直线L的距离呢？根据定义，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长。过点P作直线L1⊥L于Q,怎么能够得到线段PQ的长?利用两点间的距离公式求出|PQ|.则线段PQ的长就是点P到直线L的距离.解题思路：步骤(1)求直线L1的斜率；(2)用点斜式写出L1的方程；(3)求出Q点的坐标；(4)由两点间距离公式d=|PQ|.)(1ABk)]([00xxAByy)],([111yxQQLL设点))()((201201yyxxd),(11yx解:设A≠0,B≠0,过点P作L的垂线L1,垂足为Q,(2))0x1(xAB0y1y(1)0C1By1Ax)3(111BCAxy得由LL1QP(x0,y0)L:Ax+By+C=0由点斜式得L1的方程)x-(xABy-y00一般情况A≠0，B≠0时把（3）代入（2）得设Q点的坐标为(x1,y1).又Q(x1,y1)是L1与L的交点，则)4()(220001BACByAxAxx),(11yx220001)(BACByAxByy201201)yy()xx(|PQ|22220022)BA()CByAX)(BA(2200BA|CByAx|2200BA|CByAx|d即2220022200))(())((BACByAxBBACBYAxA把（4）代入（2）得||0ACxd||0BCyd当AB=0（A，B不全为0）（1）Ax+C=0XYO),(00yxP用公式验证结果相同（2）By+C=0用公式验证结果相同O),(00yxPXYOyxl:Ax+By+C=0P(x0,y0)2200BACByAxd1.此公式的作用是求点到直线的距离；2.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的；3.如果A=0或B=0，此公式也成立；5.用此公式时直线方程要先化成一般式。.02),1,1(;01),3,2(;0),2,1(;3774),0,0(:0134),0,2(;043),3,0(ypxPyxPyxPyxPyxP⑥⑤④③②①例1、求下列各点到相应直线的距离5125965653722311.22)2,1(.2的直线的方程且与原点的距离等于求过点例A解:设所求直线的方程为y-2=k(x+1)即kx-y+2+k=0由题意得221|200|2kk∴k2+8k+7=011k解得72k∴所求直线的方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.)2,1(A2-12222例2的变式练习求过点A(-1,2)且与原点的距离等于(1).距离改为1;(2).距离改为;(3).距离改为3(大于).想一想?在练习本上画图形做.55例2的变式练习(1).距离改为1,x=-14(y-2)=-3(x+1)2-1或x=-1(易漏掉))2,1(A则用上述方法得4(y-2)=3(x+1)例2的变式练习（2）.距离改为,2(y-2)=x+12-1555则得2(y-2)=x+1;)2,1(A（3）.距离改为3(大于),则23-1-35无解。)2,1(A例2的变式练习例题分析例3:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求的面积ABCxyOABCh12:,,||ABCABhSABh解如图设边上的高为则22)31()13(||22AB的距离到就是点边上的高ABChAB041313-13-yyxxAB即边所在直线的方程为2511|401|22h5252221,ABCS因此例4求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。Oyxl2:2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0两平行线间的距离处处相等在l2上任取一点，例如P(3,0)P到l1的距离等于l1与l2的距离5353145314)7(28073222d直线到直线的距离转化为点到直线的距离P(3,0)练习3.求下列两条平行线的距离：(1)L1:2x+3y-8=0，L2:2x+3y+18=0(2)L1:3x+4y=10，L2:3x+4y-5=0解:点P(4,0)在L1上132132632|180342|22d则,)25,0(:1LP在点解143|525403|22d则132132632|)8(18|22d143|)10(5|22dOyxl2l1P任意两条平行直线都可以写成如下形式：l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=02212BACCd22200||BACByAxd的距离到直线则点上在直线设2100),(LPLyxP)(001ByAxC又直线的方程应化为一般式！1.今天我们学习了点到直线的距离公式,要熟记公式的结构.应用时要注意将直线的方程化为一般式.2.当A=0或B=0(直线与坐标轴垂直)时，仍然可用公式，这说明了特殊与一般的关系.3.例2的变式练习,用图形解释运算结果,又一次让我们体会了数学与形式结合的思想.小结2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是2221BAC-Cd+=2200BACByAxd+++=1.平面内一点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式是当A=0或B=0时,公式仍然成立.小结练习41、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于的直线方程.22