数学建模复赛论文(Matlab)

楚雄师院数学系09级01班韩金伟学号|：20091021135楚雄师范学院2012年数学建摸竞赛复赛测试论文题目关于做手术时的医学麻醉药物问题姓名韩金伟系（院）数学系09级01班专业数学与应用数学2012年6月14日1题目：关于做手术时的医学麻醉药物问题摘要：在医学上医生给病人做手术时，往往需要对病人实施麻醉，本次的数学模型主要就是对人体注射麻醉药物随时间的变化进行建模，首选针对甲病人注射100毫克麻醉药物后，血液中的药物含量随时间变化的数据进行了数学建模，建立关于甲病人体内麻醉药物含量随时间变化的数学模型，甲病人体内麻醉药物随时变化的数学模型；再次通过模型很好的计算出了甲病人要进行2小时手术需要注射麻醉药物的最小量；最后我们建立了不同的病人体内麻醉药物随时间的变化模型，并对其中的参数加以说明，模型的要求和应用给了提示。本次数学建模除了建模本身的价值和意义外，还对医学上的麻醉技术给出了合理的数学应用，通过数学模型医生可以很好的对不同的病人手术时给予合理的麻醉，无论在医学上，还是在人体保健，社会经济上都可以有很好的体现。关键词：麻醉药物体外挥发药物含量血液数学模型价值意义麻醉技术数学应用人体保健社会经济2一、问题重述随着医学技术的不断发展，医学麻醉技术也成为了人们熟练掌握和善于利用的基本技术之一。在医学上医生在给病人做手术时，往往需要对病人实施麻醉，人在注射了麻醉药物以后，病人就不会感觉到疼痛，这样就可以减轻病人的痛苦。病人在被注射了麻醉药物以后，麻醉药物便会通过身体的各个器官向体外挥发，假设单位时间挥发的药物量与体内的药物含量成正比。由于病人个体情况的差异，对于不同的人，体内药物挥发的速度是不一样的。现在甲病人被注射了某种麻醉药物100毫克以后，我们测量出其血液中药物含量随时间变化的数据，如下表所示。时间（分钟）020406080100120140160180200含量（毫克/升）11.610.19.18.27.16.25.44.73.93.32.6假设当体内药物含量少于1.5毫克/升时，人就能感受到疼痛，手术就不能很好的进行。请完成以下问题：1.通过简化假设，建立体内麻醉药物随时间变化的数学模型；2.假设甲病人需要进行2小时的手术，请问大概需要注射多少麻醉药物？3.如果换成另外一个病人，模型又该如何变化，请加以说明。二、问题分析经过对问题的分析，我们可以知道本题所要实现的目标是，通过假设，建立体内麻醉药物随时间变化的数学模型，通过此模型我们要能很好的掌握麻醉药物随时间的变化规律，以便更好的对病人实施麻醉，从而使手术得以顺利地进行；当医生能估计出进行手术的时间，我们就要求能够通过所建立的数学模型求出大概要对病人注射多少麻醉药物；随着病人的更换，麻醉药物在体内的挥发速度就会不同，此时又要合理的调整模型，使他变得合理化。三、模型假设我们假设时刻t时人体内麻醉药物含量为)(tx，当时刻0t时，我们知道这是刚注射完麻醉药物，此时体内麻醉药物含量最高，)(tx是一个相对最大的数，为了能利用微积分这一教学工具，我们将)(tx视为连续，可微函数，并记初始时刻)0(t的药物含量为0x。单位时间药物的挥发率为r，注射的药物量为m（单位：毫克），人体内的药物含量为（单位：毫克/升），人体的血液量为v（单位：升），假定麻醉药物只存在于血液中。四、符号说明在模型中我们引用到以下的符号，符号的说明和意义如下所示：3符号单位表示的意义)(tx毫克/升在t时刻人体内的麻醉药物含量)(tf毫克在t时刻人体内的麻醉药物t分钟时间t分钟时间t的下一个很短的时刻r%人体内单位时间麻醉药物的挥发率0x毫克/升在0t时，人体内麻醉药物的含量m毫克人体内的麻醉药物毫克/升人体内麻醉药物的含量（浓度）v升人的血液量五、模型建立和求解1、问题一的求解：（1）、人体内麻醉药物含量随时间的变化模型在假设条件下单位时间内)(tx的减少等于挥发量r乘以)(tx，考虑t到tt时间内麻醉药物的减少量，显然有ttrxtxttx)()()(（1）)()()(trxttxttx（2）令0t，得到)(tx满足微分方程0)0(,xxrxdtdx（3）由这个方程我们很容易解出关于)(tx的方程式rtextx0)(（4）这个模型表示血液中的麻醉药物含量)(tx，随时间t的变化而成指数变化。（2）、人体内麻醉药物随时间的变化模型我们都知道药物的含量就是指他在人体内的药物浓度，要求出人体内麻醉药物随时间的变化模型，就要计算出人体的血液量v（假设麻醉药物只是存在血液内）。mvvm（5）t时刻体内的药物为4rtrtexmevxtf00)(（6）这个模型表示血液中的麻醉药物)(tf，随时间t的变化而成指数变化。（3）、模型的参数估计上面（4），（6）两式的参数r和0x可以用题目给出的参考数据进行估计。为了方便利用线性最小二乘法，我们先将（4）式取对数，可得到0ln,ln,xaxyarty（7）我们借助MATLAB数学软件，以0分钟到200分钟的数据拟合（7）式，从而得出rx,0的参数值，具体的拟合程序和输出结果如下所示。在MATLAB程序窗口中先输入以下程序：t=0:20:200;%以0为起始值，20为步长，200为终止值取时间tx=[11.6,10.1,9.1,8.2,7.1,6.2,5.4,4.7,3.9,3.3,2.6];%血液中药物含量的变化值p=polyfit(t,log(x),1);%（7）式的拟合式子r=p(1)%对参数r进行拟合按Enter键执行参数r的拟合：r=-0.0072%参数r的拟合结果x0=exp(p(2))%对参数x0进行拟合按Enter键执行参数x0的拟合：x0=12.2328%参数x0的拟合结果用上面的程序我们很好地拟合出了r和0x的参数值分别为：0072.0r，2328.120x。（4）、参数估计结果分析用上面我们拟合得到的参数0072.0r和2328.120x代入（4）式计算出血液中麻醉药的含量与实际的测量数据作对比。下表中x是实际的测量数据，1x是用0分钟到200分钟的数据拟合计算结果。时间（分钟）020406080100120140160180200实际含量x11.610.19.18.27.16.25.44.73.93.32.6计算含量1x12.210.69.27.96.96.05.14.73.93.32.95分析:从表中的数据我们可以很精确的看到拟合计算出来的麻醉药物含量跟实际测出的药物含量基本是保持不变的，整数部分都相对稳定，只有小数部分在很小的范围内波动，以此我们可以大致认同拟合出的模型是符合实际要求的。当然为了可以直观的看到模型的构建符合实际的测量值，我们可以通过MATLAB软件作出他们的图像进行进一步的对比，具体方法和输出如下：在MATLAB程序窗口中输入以下程序：t=0:20:200;x=[11.6,10.1,9.1,8.2,7.1,6.2,5.4,4.7,3.9,3.3,2.6];p=polyfit(t,log(x),1);plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-')按Enter键执行绘制图像，输出图像如下图所示。（图一）在图一中（+号表示实际的数据，曲线表示计算出的结果），从图中我们可以看到，用这个模型基本上能够描述血液中药物含量随时间t的变化过程。但是从细处看图我们会发现，在0分钟到40分钟范围内，拟合的计算值与实际的测量值出现了轻微的分离，从计算的数值上看，他们的偏差相对较大。因此我们缩小时间范围，对从0分钟到100分钟的时间段进行拟合观察，具体程序如下所示：t=0:20:100;x=[11.6,10.1,9.1,8.2,7.1,6.2];p=polyfit(t,log(x),1);r=p(1)r=6-0.0061x0=exp(p(2))x0=11.5898plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-')（图二）从拟合出的模型图二（+号表示实际的数据，曲线表示计算出的结果）上我们可以很直观的看到，用时间0分钟到100分钟的数据拟合出来的图像在0分钟到40分钟的范围内更为较好的接近实际测量值。同样，为了精确的看出重新拟合的模型与原来拟合模型的差距，我们用上面我们拟合得到的参数0061.0r和5898.110x代入（4）式计算出血液中麻醉药的含量与实际的测量数据作对比。下表中x是实际的测量数据，1x是用0分钟到200分钟的数据拟合计算结果，2x是用0分钟到100分钟的数据拟合计算结果。时间（分钟）020406080100120140160180200实际含量x11.610.19.18.27.16.25.44.73.93.32.6计算含量1x12.210.69.27.96.96.05.14.73.93.32.9计算含量2x11.610.69.27.96.96.0分析:从表中的数据我们可以看到，拟合计算出来的麻醉药物含量2x的值跟7实际测出的药物含量更接近了，相比起1x来说在0分钟时比1x的计算值较为接近实际的测量值。但是从20分钟到100分钟时间段来看，2x的计算值就和1x的计算值相等了。这样在误差允许范围内，我们就认同从0分钟到200分钟内的拟合模型就是我们所要建立的麻醉药物含量)(tx随时间t的变化模型。（5）、建立数学模型针对甲病人，我们根据前面的拟合结果将参数0072.0r，2328.120x代入（4）式建立一个血液中药物含量随时间变化的数学模型为tetx0072.02328.12)(（8）要建立甲病人体内麻醉药物随时间的变化数学模型，我们就要用（5）式求出甲病人的血液量v，从而计算出他体内的麻醉药物。由题目中甲病人被注射了某种麻醉药物100毫克以后，在0分钟时，甲病人体内的麻醉药物含量11.6（毫克/升），此时刻体内的药物还没有发生挥发，因此我们可由（5）式计算出甲病人的血液量。（升）6207.86.11100mv（9）由（8），（9）两式我们可以得出关于甲病人体内麻醉药物随时间变化的数学模型为：ttrteeevxtf0072.00072.004553.1052328.126207.8)(（10）即：tetf0072.04553.105)(（11）2、问题二的求解：在问题二中假设甲病人需要进行2小时的手术，求大概要注射多少麻醉药物。经过题目的已知条件我们知道，当病人体内麻醉药物含量少于1.5毫克/升时，人就能感觉到疼痛，手术就不能很好的进行（假定此时不可以再进行手术）。问题中所要求的是甲病人要进行2t小时的手术，求至少需要注射的麻醉药物m（单位：毫克）。经分析我们由（4）式可以得到一个合理的不等式：5.1)(0rtextx（12）由不等式（12）我们就可以求出甲病人要进行2小时手术至少需要注射麻醉药物的含量为。5589.35.15.15.11200072.000eexexrtrt（13）再结合（9），（10）两式，将（9），（10）和（13）式联立就可以求得甲病人要进行2小时手术至少需要注射的麻醉药物为。8（毫克）6802.306.111005.16.111005.11200072.0120eemrtt（14）故，要对甲病人进行2小时的手术，就至少要对甲病人注射30.6802毫克的麻醉药物。3.问题三的求解：（1）、问题分析对于问题三将病人换成另外一个，那么上述对病人甲的数学模型就不再适合了，因为人的个体情况差异，对于不同的人，体内药物的挥发速度是不一样的，当然就包括体内的血液量也是不一样的。因此对不同的病人注射相同的麻醉药物，血液中药物含量随时间的变化情况是不同的，相应的数学模型也就要重建。（2）、建立模型在假设条件下，时刻t时人体内的麻醉药物含量为)(tx，当时刻0t时，刚注射完麻醉药物，此时体内麻醉药物含量最高，此时)(tx是一个相对最大的数，为了能利用微积分这一教学工具