面面垂直的性质习题详细答案

点击进入相应模块平面与平面垂直的性质1.了解平面与平面垂直的性质定理的推导过程.2.理解平面与平面垂直的性质定理.3.能够利用平面与平面垂直的性质定理证明空间中的线、面的垂直关系.1.本课重点是平面与平面垂直的性质定理的理解.2.本课难点是平面与平面垂直的性质定理的应用.平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言条件：两个平面垂直.结论：一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面_____.(2)符号语言α⊥βα∩β=l____________交线垂直⇒a⊥β.a⊂αa⊥l(3)图形语言(4)作用①面面垂直⇒_____垂直；②作面的垂线.线面1.两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？2.两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？1.两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？提示：不一定.只有与交线垂直的直线才与另一个平面垂直.2.两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？提示：一定.由面面垂直的性质可知，该直线垂直于另一平面，因此也就垂直于这个平面内的所有直线.3.设两个平面互相垂直，则下列说法中：(1)一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面.(2)过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面内.(3)过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面.(4)分别在两个平面内的两条直线互相垂直或平行.正确的序号是_______.【解析】(1)错误，平面内的直线只有垂直于交线的才垂直于另一个平面.(3)错误，因为过交线上一点垂直于交线的直线，一定在过交线上该点的垂面上，不一定在另一个平面中.分别在两个平面内的两条直线可能异面、平行、相交(包括垂直),故(4)错误.只有(2)正确.答案：(2)4.如图所示，已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β,AC⊥l，BD⊥l，且AB=4，AC=3，BD=12，则CD=_____.4.如图所示，已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β,AC⊥l，BD⊥l，且AB=4，AC=3，BD=12，则CD=_____.【解析】连接BC,∵AC⊥l,∴BC=又∵平面α⊥平面β，α∩β=l，BD⊥l,∴BD⊥平面α，∴BD⊥BC，∴CD=答案：1322ACAB5.22BCBD13.对平面与平面垂直的性质的认识两个平面垂直的性质定理也可简述为“面面垂直，则线面垂直”.该定理可作为“线面垂直”的判定方法：只要有两个平面垂直，那么过平面内一点向交线作垂线便得线面垂直，进一步有线与线的垂直.平面与平面垂直的判定与性质相结合，为证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧.面面垂直的性质定理的应用【技法点拨】应用面面垂直的性质定理的策略(1)应用步骤:面面垂直线面垂直→线线垂直.(2)应用类型:①证明线面垂直、线线垂直;②作线面角或作二面角的平面角.直线垂直两平面交线【典例训练】1.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是()(A)一条线段(B)一条直线(C)一个圆(D)一个圆，但要去掉两个点2.如图所示，平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β=AB,a∥α，a⊥AB.求证：a⊥β.【解析】1.选D.∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，故选D.2.∵a∥α,过a作平面γ交α于a′，∴a′⊥AB.∵α⊥β，α∩β=AB，∴a′⊥β，∴a⊥β.【思考】在应用面面垂直的性质定理时应注意哪几点？提示：应特别注意三点：(1)两个平面垂直是前提条件；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.与面面垂直有关的计算【技法点拨】与面面垂直有关的计算的方法(1)求角的大小.由所给面面垂直的条件先转化为线面垂直，再转化为线线垂直，一般转化为在三角形中的计算问题.(2)求线段的长度、点到直线或平面的距离以及几何体的体积.求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法.2.如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2侧棱长为4，E，F分别为棱AB,BC的中点，EF∩BD=G.(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离.2，2.(1)连接AC.∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD.又AC⊥DD1,且BD∩DD1=D,故AC⊥平面BDD1B1，∵E，F分别为棱AB,BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)解题流程:关于折叠问题【技法点拨】解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量.一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况.【典例训练】1.如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是______.2.如图所示，在平行四边形ABCD中,已知AD=2AB=2a,BD=AC∩BD=E,将其沿对角线BD折成直二面角.求证:(1)AB⊥平面BCD;(2)平面ACD⊥平面ABD.3a,【解析】1.∵AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,且平面ADE∩平面BCDE=DE,∴AD⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE,∴AD⊥BC.又BC⊥CD,CD∩AD=D,∴BC⊥平面ACD,又BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ACD.答案：平面ABC⊥平面ACD2.(1)在△ABD中,AB=a,AD=2a,BD=∴AB2+BD2=AD2,∴∠ABD=90°,∴AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,∴AB⊥平面BCD.(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形,且AB⊥BD,∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又∵AB∩BD=B,∴CD⊥平面ABD.又∵CD⊂平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABD.3a,【规范解答】面面垂直性质定理的综合应用【典例】(12分)如图所示：在四棱锥V-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面三角形VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1)证明AB⊥平面VAD；(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的平面角的正切值.【解题指导】【规范解答】(1)∵底面四边形ABCD是正方形,∴AB⊥AD.…………………………………………………1分又∵平面VAD⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD①，且平面VAD∩平面ABCD=AD①,……………………………………………………………3分∴AB⊥平面VAD.…………………………………………5分(2)如图所示，取VD的中点E，连接AE,BE.∵△VAD是正三角形,∴AE⊥VD②，AE=AD.32∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥VD.………………………………8分又∵AE∩AB=A，∴VD⊥平面ABE.∴BE⊥VD②.因此∠AEB就是所求二面角的平面角③，………………10分于是tan∠AEB=.……………………………………12分233【规范训练】(12分)如图所示：已知PA⊥平面ABC,二面角A-PB-C是直二面角.求证:AB⊥BC.【解题设问】(1)由二面角A-PB-C是直二面角可得到什么？___________.(2)解答本题的思路是什么？欲证AB⊥BC，需由____________________得到线面垂直.进而可得到线线垂直，最后根据____________,寻找垂直关系.面面垂直面面垂直的性质定理PA⊥平面ABC【规范答题】由二面角A-PB-C为直二面角,得平面PAB⊥平面CPB,且PB为交线.…………………………………………2分在平面PAB内,过A点作AD⊥PB,D为垂足,………………………………………………………………4分则AD⊥平面CPB.又BC⊂平面CPB,所以AD⊥BC.………………………………………………………………6分因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,………………………………………………………………8分又PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB,…………………………10分又AB⊂平面PAB,所以AB⊥BC.……………………………12分1.设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()(A)直线a必垂直于平面β(B)直线b必垂直于平面α(C)直线a不一定垂直于平面β(D)过a的平面与过b的平面垂直【解析】选C.直线a垂直于平面β内的一条直线b，b不一定是交线，不能判定直线a必垂直于平面β，故A不正确；同理，B不正确；过a的平面有无数个，与过b的平面位置关系平行，相交均可，D不正确；故选C.2.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面()(A)垂直(B)平行(C)平行或相交(D)平行或相交或在另一个平面内2.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面()(A)垂直(B)平行(C)平行或相交(D)平行或相交或在另一个平面内【解析】选D.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线若为交线，则在另一个平面内；若与交线平行，则与另一个平面平行；若与交线相交，则与另一个平面相交.3.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连接PB，PC，PD，AC，BD，则互相垂直的平面有()(A)5对(B)6对(C)7对(D)8对3.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连接PB，PC，PD，AC，BD，则互相垂直的平面有()(A)5对(B)6对(C)7对(D)8对【解析】选C.平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PDC⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PDB⊥平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD.