7：向心加速度(教案)

-1-高一物理·2020寒假3．向心加速度1．理解向心加速度的概念以及向心加速度的方向。2．掌握向心加速度公式，知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能运用它们求解有关问题。1.匀速圆周运动的加速度方向(1)向心加速度的定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向□01圆心，我们把它叫作向心加速度。(2)向心加速度的方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向□02圆心，与该点的线速度方向□03垂直。向心加速度的方向时刻在□04改变。(3)向心加速度的作用效果：向心加速度只改变速度的□05方向，不改变速度的□06大小。2．匀速圆周运动的加速度大小(1)向心加速度的大小：an＝□07ω2r。根据v＝ωr可得an＝□08v2r。(2)向心加速度的物理意义：向心加速度是描述线速度□09方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了□10向心加速度的大小。判一判(1)做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。()(2)做匀速圆周运动的物体的加速度总指向圆心。()(3)匀速圆周运动是加速度不变的运动。()(4)可以用公式a＝v2r求变速圆周运动中的加速度。()提示：(1)√做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心的。(2)√做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心，根据牛顿第二定律，加速度也总指向圆心。(3)×做匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。(4)×变速圆周运动中，向心加速度an＝v2r，而加速度为向心加速度an与切向加速度at的矢量和。-2-高一物理·2020寒假想一想荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千向下荡时，请思考：(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？(2)加速度指向悬挂点吗？运动过程中，公式an＝v2r＝ω2r还适用吗？提示：(1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点，加速度不指向悬挂点。公式an＝v2r＝ω2r仍然适用。课堂任务匀速圆周运动的加速度方向仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：如图所示，小球做匀速圆周运动时，小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？提示：小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化。运动状态发生变化的原因是受到向心力的作用。活动2：物体做匀速圆周运动时，提供向心力的是什么？合力有什么特点？提示：物体做匀速圆周运动时，物体所受的合力提供向心力。合力的方向总是指向圆心。活动3：根据牛顿第二定律，小球的加速度沿什么方向？-3-高一物理·2020寒假提示：小球受到的合力提供向心力，方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，小球做匀速圆周运动时的加速度也总是指向圆心。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。1．向心加速度的方向：与向心力的方向相同，总指向圆心，方向时刻改变。2．向心加速度的作用：向心加速度方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。3．圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。例1(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是()A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心(1)向心加速度的物理意义是什么？提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢。(2)向心加速度方向为________。提示：始终指向圆心[规范解答]向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正确，C错误。[完美答案]ABD对向心加速度的理解(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。[变式训练1]下列说法中正确的是()A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢-4-高一物理·2020寒假C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动答案B解析匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。课堂任务匀速圆周运动的加速度大小仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：如图甲所示，物块的加速度如何求？提示：物块所受的合外力即为F，根据牛顿第二定律，a＝Fm。活动2：如图乙所示，小球做匀速圆周运动的向心力大小是多少？方向有什么特点？提示：竖直方向：Tcosθ＝mg，水平方向：Tsinθ＝Fn，Fn＝mgtanθ，方向时刻指向圆心O。活动3：能用求甲中物块加速度的方法求乙中小球的加速度吗？小球的加速度的大小是多少？提示：能。an＝Fnm＝gtanθ。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。1．向心加速度的大小(1)公式推导：根据牛顿第二定律F＝ma，向心加速度an＝Fnm＝ω2r。(2)向心加速度的几种表达式：an＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝ωv。(3)向心加速度与半径的关系①当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。-5-高一物理·2020寒假②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。由an­r图像可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。(4)向心加速度的注意要点①向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。②向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。③无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。2．用运动学的方法求向心加速度的方向和大小(1)Δv的方向：如图所示，质点做匀速圆周运动从A点运动到B点，用下图体现时间逐渐减小到趋于零时Δv与线速度的关系。结论：Δt趋于零，Δv垂直于此时的线速度。即Δv指向圆心。(2)向心加速度的方向：由于Δv指向圆心，由加速度定义a＝ΔvΔt可知，加速度总是与Δv的方向一致，故向心加速度方向指向圆心。(3)向心加速度的大小：先作出做匀速圆周运动的物体的速度情况如图甲所示，再作出速度与速度改变量的关系图如图乙所示。-6-高一物理·2020寒假由于A点的速度vA方向垂直于半径r，B点的速度vB方向垂直于另一条半径r，所以∠AOB＝∠CBD，故等腰△AOB和△CBD相似，根据对应边成比例可得：rvA＝ABΔv，由于时间t很短，故弦长AB近似等于弧长AB︵，而弧长AB︵＝vA·Δt，所以rvA＝vA·ΔtΔv，又an＝ΔvΔt，故an＝v2Ar。由于v＝ωr，代入an＝v2Ar可得an＝ω2r。3．常见匀速圆周运动的实例-7-高一物理·2020寒假例2如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为R3的C点的向心加速度大小是多少？(1)怎么比较A、B、C三点的向心加速度大小？提示：需要涉及公式an＝v2r、an＝ω2r，通过抓住相同量比较不同量。(2)A、B两点有什么物理量相同？A、C两点有什么物理量相同？提示：由于A、B轮在一起朝前运动，都走同样的路，其线速度大小相等。A、C同轴，角速度、周期、转速相等。[规范解答]大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等。由aA＝v2R和aB＝v2r得aB＝RraA＝24cm/s2＝0.24m/s2；C点和A点同在大轮上，-8-高一物理·2020寒假角速度相等，由aA＝ω2R和aC＝ω2·R3得aC＝aA3＝4cm/s2＝0.04m/s2。[完美答案]0.24m/s20.04m/s21.传动问题中比较向心加速度大小时公式的选用1皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an＝v2r。2同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。2.求向心加速度的两种角度1动力学角度：an＝Fnm。2运动学角度：an＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r。[变式训练2－1]如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)()A．1∶2∶3B．2∶4∶3C．8∶4∶3D．3∶6∶2答案C解析因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式a＝v2r，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C同轴转动，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式a＝ω2r，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5。由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C。[变式训练2－2]在温哥华冬奥会上，我国选手申雪、赵宏博在双人花样滑冰运动中获得金牌，如图为赵宏博拉着申雪在空中做圆锥摆运动的精彩场面，已知申雪的体重为G，做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30°，重力加速度为g，求申雪做圆周运动的向心加速度和受到的拉力大小。-9-高一物理·2020寒假答案3g2G解析对申雪受力分析如图所示，其中θ＝30°，mg＝G，F为所受拉力。水平方向：Fcosθ＝ma。竖直方向：Fsinθ＝mg。由以上两式得：向心加速度的大小为a＝gcotθ＝3g。拉力大小F＝mgsinθ＝2G。A组：合格性水平训练1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法中正确的是()A．向心加速度的方向始终指向圆心B．向心加速度的方向保持不变C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．在变速圆周运动中，向心加速度的方向不指向圆心答案A解析无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，A正确，B、C、D错误。2．(向心加速度与半径的关系)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是()-10-高一物理·2020寒假A．由an＝v2r可知，an与r成反比B．由an＝ω2r可知，an与r成正比C．由v＝ωr可知，ω与r成反比D．由ω＝2πf可知，ω与f成正比答案D解析质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，而角速度无论何时均与频率成正比。A、B、C错误，D正确。3.(向心加速度与半径的关系)(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A的图线为双曲线的一个分支，由图可知()A．A物体运动的线速度大小不变B．A物体运动的角速度大小不变C．B物体运动的角速度大小不变D．B物体运动的角速度与半径成正比答案AC解析因为A的图线为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝v2r可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而B的图线为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C正确，D错误。4．(匀速圆周运动的加速度)(多选)一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是()A．大小为v2rB．大小为g－v