高数下册总复习知识点

高数下册总复习知识点归纳软件三班jason第八章向量代数与空间解析几何总结各章节知识点归纳第十张：重积分，三重积分第十一章：曲线积分与曲面积分第十二章：无穷级数第九章多元函数微分法向量的分解式：(,,)xyzaaaa.,,,,轴上的投影分别为向量在其中zyxaaazyxkajaiaazyx在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,,向量的坐标表示式：向量的坐标：zyxaaa,,1、向量的坐标表示法（一）向量代数第八章向量代数与空间解析几何总结向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,,xyzaaaa（）,,xyzbbbb（）,,xxyyzzabababab（）,,xxyyzzabababab（）,,xyzaaaa（）kbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(kajaiazyx)()()(222||zyxaaaa向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa222coszyxyaaaa222coszyxzaaaa向量方向余弦的坐标表示式222coscoscos121221221221zzyyxxMM它们距离为设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点两点间距离公式:2、数量积cos||||baba其中为a与b的夹角(点积、内积)zzyyxxbabababa数量积的坐标表达式ba00xxyyzzabababab222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa两向量夹角余弦的坐标表示式3、向量积sin||||||bac其中为a与b的夹角c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.(叉积、外积)向量积的坐标表达式zyxzyxbbbaaakjiba方程特点:00),(:zyxfL设有平面曲线方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线xL)1(0),(22zyxf方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线yL)2(0),(22yzxf1.旋转曲面（二）空间解析几何122222czyax122222czayx12222czax旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面xyz抛物线022xpzy绕z轴；pzyx222旋转抛物面oyzx椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面ozyx（2）圆锥面222zyx（1）球面（3）旋转双曲面1222222czayax1222zyx2202020)()()(Rzzyyxx2.柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.（其他类推）实例12222czby椭圆柱面母线//轴x12222byax双曲柱面母线//轴zpxz22抛物柱面母线//轴y抛物柱面xyzxyz椭圆柱面pxz22双曲柱面xyz12222czby12222byax3.二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面1222222czbyaxzqypx2222（2）椭圆抛物面)(同号与qp特殊地：当时，方程变为qpzpypx2222旋转抛物面)0(p（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）xozpzx22zqypx2222（3）马鞍面)(同号与qp（4）单叶双曲面1222222czbyax（5）圆锥面222zyx4.空间曲线0),,(0),,(zyxGzyxF[1]空间曲线的一般方程)()()(tzztyytxx[2]空间曲线的参数方程CCC关于的投影柱面C在上的投影曲线Oxzy0),,(0),,(:zyxGzyxFC设曲线则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：0),(yxH所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：00),(zyxH[3]空间曲线在坐标面上的投影5.平面},,{CBAn),,(0000zyxMxyzon0MM[1]平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA[2]平面的一般方程0DCzByAx1czbyax[3]平面的截距式方程xyzoabc0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA[4]平面的夹角222222212121212121||cosCBACBACCBBAA[5]两平面位置特征：21)1(021212121CCBBAAnn21)2(//11n22n.21212121CCBBAAnn重合定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为1、偏导数概念第九章多元函数微分法同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.ddd.zzzxyxy2、全微分公式用定义证明可微与不可微的方法000000[(,)(,)]()xyzfxyxfxyy可微000000[(,)(,)]()xyzfxyxfxyy不可微多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导有极限3、关系((),())zftt4、多元复合函数求导法则定理1若函数(,)zfuv在点处偏导连续,在点t可导,ddddddzzuzvtutvt则复合函数且有链式法则中间变量均为一元函数的情形在点t处可导，uvtz公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.5、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dddzzzuvuv定理1设函数00(,)0;Fxy单值连续函数y=f(x),00(),yfx并有连续d.dxyFyxF(隐函数求导公式)①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个的某一邻域内满足00(,)0yFxy②③满足条件导数在点则方程0x在点6、隐函数的求导法则(1)(,)0Fxy定理2000(,,)Pxyz,yxzzFFzzxFyF的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足000(,,)0;Fxyz000(,,)0,zFxyz①在点若函数满足:(,,)Fxyz②③某一邻域内可唯一确0),,(.2zyxF定理30000(,,,)0,Fxyuv的某一邻域内具有连续偏导数设函数0000(,,,)Pxyuv则方程组(,,,)0,(,,,)0FxyuvGxyuv③的单值连续函数(,),(,),uuxyvvxy计算偏导数按直接法求解.①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:(,)0,(,)PFGJPuv0000(,,,)0;Gxyuv000(,),uuxy000(,)vvxy00(,)xy在点7、微分法在几何上的应用切线方程为.)()()(000000tzztyytxx法平面方程为.0))(())(())((000000zztyytxxt(1)空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx000((),(),())Tttt(关键:抓住切向量)1）空间曲线方程为,)()(xzxy,),,(000处在zyxM,)()(100000xzzxyyxx.0))(())(()(00000zzxyyxxx法平面方程为切线方程为特殊地：(取为参数)x(1,(),())Txx2）空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF(取为参数)xxyzxyzMijkTFFFGGG取切线方程为000()()()0.yzxyzxzxyzxyMMMFFFFFFxxyyzzGGGGGG法平面方程为000,yzzxxyzxyzMxyMMxxyyzzFFFFFFGGGGGG(２)曲面的切平面与法线:(,,)0.Fxyz切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为.),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx000000000((,,),(,,),(,,))xyznFxyzFxyzFxyz(关键:抓住法向量):(,)zfxy曲面在M处的切平面方程为,))(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx曲面在M处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,),(),,(zyxfzyxF令0000((,),(,),1)xynfxyfxy则（特殊情形）8、方向导数.),(),(lim0yxfyyxxflf的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义lPPlPyxPPyxfyyxxf22)()(),(),(记为（1）方向导数的定义及存在的充分条件.),,(),,(lim0zyxfzzyyxxflf三元函数方向导数的定义（其中222)()()(zyx）方向导数的存在性及其计算方法:00(,)(,),zfxyPxy若函数在点处可微定理那么函数在000000(,)(,)cos(,)cos,xyxyffxyfxyl该点沿任一方向的方向导数存在,且有l:cos,cos.l其中是方向的方向余弦说明:可微沿任一方向的方向导数存在.反之不一定成立.(2)梯度的概念定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，grad(,)fxyffijxy记为函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为22|),(|yfxfyxgradf梯度与方向导数的关系.maxf=l２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和.(,)dDfxyiiniif),(lim101、二重积分的定义第十张：重积分，三重积分3、二重积分的计算,:bxaD).()(21xyx［X－型］21()()(,)dd(,)d.bxaxDfxyx