2018高考试题一题多解

2018高考题一题多解1.（2018年天津高考真题理科和文科第13题）已知Rba,，且063ba，则ba812的最小值为.思路一：基本不等式abba2解析一：由于063ba，可得63ba，由基本不等式可得，412222222222281236333babababa，当且仅当063223baba，即13ba时等号成立。故ba812的最小值为41。思路二：轮换对称法(地位等价法）方法二：轮换对称性：因为ba3,的地位是样的，当取最值时，ba3,在相等的时候取到：33ba，得1,3ba，4181281213ba所以最小值为41思路三：换元+等价转化方法三：令xa2，yb81，则xa2log，yb2log3，则已知问题可以转化为：已知06loglog22yx，则yx的最小值为.已知06loglog22yx，可得62xy，412223xyyx，当且仅当yx，063812baba，即13ba时取得等号，故ba812的最小值为41。2.【2018课标2卷理12】已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF△为等腰三角形，12120FFP，则C的离心率为（）．A．23B．12C．13D．14解法一：由题意：(,0),(2,3),AaPcc所以30326APckca，即4ac，所以14e，选D．解法二：由题可得PA的方程为3()6yxa，2PF的方程为3()yxc，可求解63,()55ppacxyac，又223(,0),3PFFck，所以3()35635acacc，解得14e，选D解法三：在2ΔAFP三角形中，由余弦定理可得：则2222()(2)2()74PAacccaccaac22331tan,sin,63913PAFPAF又22PFc在212Δ,ΔAPFPFF中利用等高建立等式，所以22137423213caaccc，所以14e，选D解法四：因为12ΔPFF为等腰三角形，12120FFP，所以2122PFFFc，由余弦定理可知：123PFc，因为1111113239sinsin(),sin,cos1313APFPAFAFPPAFPAF，所以139sin26APF，在1ΔAPF中，由正弦定理可知：1111sinsinAFPFAPFPAF，即2339132613acc，所以离心率为14，选D．解法五：因为12ΔPFF错误!未找到引用源。为等腰三角形，12120FFP错误!未找到引用源。，所以2122PFFFc，由AP错误!未找到引用源。斜率为36错误!未找到引用源。得，23tan6PAF，所以22112sin,cos1313PAFPAF由正弦定理得2222sinsinPFPAFAFAPF，所以211221313531211sin()3221313cπacPAF所以4ac，解得14e，选D．3.（2018全国理科第16题）已知函数()sinsin2fxxx，则()fx的最小值为___________解法一2()sinsin22sin(1cos)4sincos2cos222xxxfxxxxx32262()64sincos641,sin0,1222xxxfxttt433264643t11127()6413t13344tttfxttt当且仅当14t时，2max27()4fx此时211sin,sin2422xx，min33()2fx考点：四元均值不等式，三角恒等变换解法二：先求()fx的最大值，设sin0,cos0xx()2sin2sincosfxxxx22222211112sin2sincossinsincosaxbxxaxbxxabab222211sincosabxxab，233,23ab即22333()2sin2sincos3sin3cos22fxxxxxx，3x故根据()()fxfx奇函数知，min33()2fx解法三：求导法.()2cos2cos22(2cos1)cos1fxxxxx当0,,()03xfx；5,,()033xfx；5,2,()03xfxmin533()()32fxf解法四：()fx为奇函数，可考虑x为锐角，由琴生不等式等233()sinsinsin(22)3sin()32xxxfxxxx33()2fx解法五()sinsin2fxxx，()2sin(1cos)fxxx设cos,sinmxnx，则221mn，2(m1)tn，2(m1)tn，设两曲线切于,xy，则有222212(1)2(1)1xytyxtxxx，解得322t，3333()[,]22fx解法六柯西不等式法()sinsin2fxxx，22231()4[sinsin3]233fxxxcosx22223sin21sin34[]2233xxcosx27=16，3333()[,]22fx解法七：构造单位圆中的正三角形，单位圆中的正三角形面积最大(1,0),(cossin),(cos,0)D(cos,0)ABxxCxx，，，13|2sin(1cos)|324ABCSxx解法七万能代换：()sinsin2fxxx为奇函数，不妨设,0x02tanxt。22222224t1t88()sinsin2(1)11111(1t)(t)333ttfxxxtt322483321(4())3tt,当且仅当13t时取等号，3333()[,]22fx试题拓展：（1）(2016全国2)函数()cos26cos()2fxxx的最大值是_________(2)2013全国1)当x时，函数()sin2cosfxxx取得最大值，则cos_________(3)已知函数()2cosxsin2fxx，则()fx的最小值是_________(4)已知函数()2cosxsin2fxx，则()fx的最大值是_________(5)已知函数()sincossincosfxxxxx，则()fx的最大值是_______(6)已知函数()sinsin2fxxx，则()fx的最大值_________(7)已知函数()sincos2fxxx，则()fx的最大值__________(8),,ABC是ABC的一个三角形的内角，则(9)sinsinBsinCyA的最大值是_________sinsinBsinCyA的最大值是________coscosBcosCyA的最大值是_________cos+cosB+cosCyA的最大值是________(9)函数3sinsin3yxx的最大值是_______答案:1.22311()2cos6sin12(cos)22fxxxx,maxcos1,()5xfx2.12()sin2cos5(sincos)5sin()55fxxxxxx3.其中12cos,sin55，因为当x时，函数()fx取得最大值，所以max()()5sin()5fxf，此时sin()1，2,()2kkZ,2,(kZ)2k,所以225coscos(2k)sin255解法二.12()sin2cos5(sincos)5sin()55fxxxxxx,其中tan2，由已知sin2cos5，其中cos0，可知22sin4sincos4cos5，所以2222sin4sincos4cos5sincos，化简24tan4tan10，所以，1tan2，又cos0，所以2cos5解法三：()sin2cosfxxx，所以()cos+2sinfxxx又当x时，()fx取得最大值()0f，即cos+2sin=0xx解得1tan2，因为tan0，所以是第二象限角可第四象限角，所以当第二象限角，此时21cos,sin55，此时，取得最大值5当第四象限角时，此时21cos,sin55，取得最小值5舍去，所以2cos5解法四.由柯西不等式，2222()sinx2cos1(2)(sincos)5fxxxx当且仅当sincos=12xx时，即当1tan2x时等号成立，()fx取得最大值，又当x时，()fx取得最大值，所以()sin2cos0f所以为第二象限角时，利用22sincos1且1tan2x，解得2cos5解法五.由已知()sin2cosfxxx，令cos,sinuxvx，则221uv，点(,)uv在单位圆上，2yuv的几何意义为直线2vuy的纵截距，当直线2vuy与圆相切时，y取得最大值.此时直线的斜率为2，易得1tan()2，即1tan2此时所以为第二象限角时，()fx取得最大值，，故可求得2cos54.（2018全国3卷16）已知点)1,1(M和抛物线xyC4:2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于BA,两点．若090AMB，则k=解法一：∵抛物线xyC4:2，的焦点)0,1(F，∴过BA,两点的直线方程为)1(xky，联立)1(42xkyxy可得0)2(22222kxkxk设),(),,(2211yxByxA，则2221)2(2kkxx，121xx，∴kxxkyy4)2(2121，]1)([)1)(1(2121221221xxxxkxxkyy4，∵)1,1(M，∴)1,1(11yxMA，)1,1(22yxMB，∵090AMB∴0MBMA∴0)1)(1()1)(1(2121yyxx，整理可得，02)()(21212121yyyyxxxx，∴02444212kk，即0442kk，∴2k．解法二：设),(),,(2211yxByxA2212144xyxy，)(4212221xxyy，2121212121y444yyyyyxxyyk，取AB的中点),(00yxN.分别过BA,作准线1x的垂线，垂足分别为BA,，∵090AMB，所以|)||(|21||21||BFAFABMN|)||(|21BBAA，又因为点N为AB的中点，所以MN平行于x轴，所以10y，即221yy，所以2k.我们先证一个重要结论，然后利用这个结论，秒杀此题解法三：三角形MAB称为阿基米德三角形，,MAMB是弦的两条切线，推出M点在准线上，且ABMF，MAMB,反之，若M点在准线上，且ABMF，推出,MAMB是弦的两条切线，MAMB若M点在准线上，且MAMB，推出,MAMB是弦的两条切线，且ABMF，设抛物线pxy22上的焦点为)0,2(pF，过F的直线方程为2pmyx，联立方程2p22pm