三角恒等变换技巧

120三角恒等变换技巧三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益·一、切割化弦“切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想．【例1】证明：cottancossin2cotcostansin22证明：左边cossin2sincoscoscossinsin22cossin1cossin)cos(sincossincoscossin2sin2224224右边cossin1cossincossinsincoscossin22∴左边～右边．原等式得证．点评“切割化弦”是将正切、余切、正割、余割函数均用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的、有效的解题方法．当涉及多种名称的函数时，常用此法减少函数的种类．【例2】已知同时满足bababa2seccos2cossec22和，且ba,均不为零，试求“ba,”b的关系．解：②①bababa2seccos2cossec22显然0cos，由①×2cos+②×cos得：0cos2cos22ba，即0cosba又0a，∴abcos代入①得aabba22230)(222ba∴22ba点评本例是化弦在解有关问题时的具体运用，其中正割与余弦、余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径．【例3】化简)10tan31(50sin00解：原式=000000010cos)10sin2310cos21(250sin)10cos10sin31(50sin110cos80sin10cos10cos40sin210cos)1030sin(250sin000000000点评这里除用到化切为弦外，其他化异角函数为同角函数等也是常用技巧．二、角的拆变在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角的相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：可变为121)(；2可变为)()(；2可变为)(；可视为2的倍角；)45(0可视为)290(0的半角等等．【例4】（2005年全国卷）设为第四象限角，若513sin3sin，则2tan_______.解：513tan1tan3tan2tantan2tansin2coscos2sinsin2coscos2sinsin3sin22∴91tan2又∵为第四象限角∴31tan∴43tan1tan22tan2点评这里将3写成2，将写成2是解题的切人点．根据三角表达式的结构特征，寻求它与三角公式间的相互关系是解题的关键．【例5】已知锐角、满足)cos(2cscsin，2，求tan的最大值及的值。解：∵)cos(2cscsin∴sin)cos(2sin又sin)cos(cos)sin(])sin[(sin∴sin)cos(2sin)cos(cos)sin(又∵)2,0(,，2，∴0cos)cos(等式两边同除以cos)cos(得：tan)tan(tan2，即tan3)tan(∴33tan32tan2tan31tan2tan)tan(1tan)tan(])tan[(tan2tan在)2,0(上是增函数，故tan的最大值是33，此时6点评已知条件中有,和，而待求式中只有，因此可将拆变成已知条件中出现的角即)(．这种常用的拆变技巧要注意掌握．【例6】已知53)4cos(,434,40，135)43sin(，试求)sin(解：∵)(2)4()43(∴)sin()](2cos[cos)]4()43[()]4sin()43sin()4cos()43[cos(∵042434∴54)4sin(53)4cos(122434340，由135)43sin(1312)43cos(∴)sin(6556)54(13553)1312(点评研究已知角与待求式之间角的关系，以确定角的拆变的操作方式是解题的出发点，此即“变角”技巧的由来．【例7】求)15cos(3)45cos()75sin(000的值解：设015，则)15cos(3)45cos()75sin(000=cos3)30cos()60sin(00=0点评这里选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一三、“1”的代换在三角函数中，1”可以变换为xxxxxx222222cotcsc,tansec,cossin，4tan,sincsccos,sec,cottanxxxxx等等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法．【例8】求22cos4sin1y的最小值解：22222222cos)cos(sin4sincossincos4sin1y9cottan425tan4cot54tan4cot1222222当且仅当22tan4cot即21tan2时取等号。故所求最小值为9.【例9】（2004年全国卷）求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244最小正周期、最大值和最小值解：)cossin1(2cossin1cossin22cossin)cos(sin)(2222222xxxxxxxxxxxf212sin41)cossin1(21xxx所以函数)(xf的最小正周期是，最大值是43，最小值是41【例10】化简xx4466cossin1cossin1解：原式=23cossin2cossin3cossin3cossin)cos(sincossin)cos(sin2242242222266322xxxxxxxxxxx点评“1=xx22cossin”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛，要灵活掌握．除此以外，还经常用到：1=4tan1,cotcsc1,cottan22xx．灵活运用这些等式，可使许多三角函数问题得到简化．123【例11】已知625tan1tan1，求2cos2sin1的值解：625)45tan(tan45tan1tan45tantan1tan1000∵625)45tan()290cos(1)290sin(2sin12cos000∴62562512cos2sin1点评这里是1=tan的运用．若直接从已知式中求出tan，再用万能公式，虽然思路很直观，但却导致较复杂的运算．四、变通公式对于每一个三角公式，教材中仅给出其基本形式，但我们若熟悉其它变通形式常可以开拓解题思路．例如，由cossin22sin可变通为sin22sincos与cos22sinsin、由tantan1tantan)tan(，可变通为)tantan1)(tan(tantan【例12】（2002·北京春·）在△ABC中，已知三内角A、B、C成等差数列，求2tan2tan32tan2tanCACA的值解：∵三内角A、B、C成等差数列，且A+B+C=，∴A+C=1200∴32tanCA由两角和的正切公式：32tan2tan12tan2tanCACA32tan2tan32tan2tanCACA点评本例是正切公式变形的运用，在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形运用，读者要仔细体会．【例13】已知4BA，求)tan1)(tan1(BA的值解：)tan1)(tan1(BA)tantan1()tantan1)(tan()tantan1(tantanBABABABABA2)tantan1()tantan1)(4tan(BABA点评若三角函数式中同时出现BABAtantantantan、，常可用)tantan1)(tan(tantan【例14】证明：4tan42tan2tan8cot8cot证明由2cot2tancottan1tan22tan2……………………①同理：4cot22tan2cot…………………………………………………②8cot24tan4cot…………………………………………………③①+2×②+4×③整理得：4tan42tan2tan8cot8cot【例15】证明：521115cos114cos113cos112cos11cos124证明左边=115sin21110sin114sin2118sin113sin2116sin112sin2114sin11sin2112sin521115sin211sin114sin2113sin113sin2115sin112sin2114sin11sin2112sin=右边点评应用倍角公式的变形公式来处理三角函数式的积的问题常常是一种很巧妙的解题方法．五、升幂与降次分析题目的结构，掌握结构的特点，通过升幂、降次等手段，为使用公式创造条件，这也是三角变换的重要技巧．利用余弦的倍角公式可知2cos12cos2，2cos12sin2，这样可以用倍、半角公式来升幂（从右到左）和降次（从左到右）【例16】.已知)sin(3)csc(，求422cossin2sin41解：422cossin2sin4122)22cos1(22cos12sin41)2cos2(cos2121)2cos2sin4122)sin()sin(1由)sin(3)csc(得31)sin()sin(∴原式=32311点评遇平方可用“降次”公式，这是常用的解题策略．本题中首先化异角为同角，消除角的差异，然后化简求值．关于积化和差、和差化积公式，教材中是以习题形式给出的，望引起重视．【例17】（2002年全国卷）已知))2,0((12coscos2sin2sin2，求sin和tan的值解