第三章-振动和波

第三章振动和波当飞机以超过音速的速度飞行，飞机所发出的音波无法跑在飞机前方，全部叠在机身后方，形成了音爆(sonicboom)，这种波传到时，我们会听到一声轰然巨响。在飞机正好要加速穿过音障(soundbarrier)时，在飞机的周围有时会有一团云雾形成。这是一架F/A-18大黄蜂战机穿过音障的瞬间。振动是物体一种普遍的运动形式。物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，将机械振动范围这一概念加以推广，对描述物体运动状态的物理量在某一数值附近来回往复的变化时，均可称该物理量在振动。如电路中电压、电流、电路中的电场强度和磁场强度等也都可能随时间作周期性的变化，这种变化也称为振动—电磁振动。各种振动本质不同，基本规律相同。振动可分为自由振动和受迫振动。自由振动又包括阻尼自由振动和无阻尼自由振动（简谐运动）。波动是振动状态在空间的传播，它是物质的一种特殊的运动形式。常见的波有两大类:机械波和电磁波。近代物理研究发现，微观粒子具有二相性-波动性和粒子性，因此研究微观粒子的运动规律时，波动概念也是很重要的基础。各种波的本质不同，传播机理不同，但其基本传播规律相同。本章主要讨论机械振动和机械波的概念和规律，其规律可推广到一般振动和波动。简谐运动是一种最简单、最基本的振动，复杂振动可以看成是由若干简谐运动组成的。描述简谐运动的三个特征量是振幅、周期和相位。简谐运动物体的速度、加速度也是随时间变化的周期性函数，除解析方法外，简谐运动也可以用曲线法和旋转矢量法表示。简谐运动过程中存在着势能与运动动能的相互转化，总机械能守恒。简谐运动是一种最简单、最基本的振动，复杂振动可以看成是由若干简谐运动组成的。当描述物体的变量如位移x(t)满足运动方程时，其解可以表示为x=Acos(wt+j)，这种用时间t的正弦或余弦函数来描述的运动，叫做简谐振动或简谐运动（simpleharmonicmotion），上述两式分别叫做简谐运动的微分方程和积分方程。下图是简谐运动的位移随时间的变化曲线A表示物体离开平衡位置的最大位移的绝对值，称为简谐运动的振幅(amplitude)wt+j是决定作简谐运动物体在任一时刻运动状态的物理量，称为简谐运动的相位（phrase），t=0时的相位j称为初相位，两振动相位的差称为相位差，用于比较同频率的作简谐运动物理量的步调，当相位差为零（或2p的整数倍）时，二者同相，当相位差为p（或p的奇数倍）二者反相，相位差为其它值，二者不同相。振幅及初相位由初始条件决定；物体作简谐运动周而复始完全振动一次所需的时间叫做简谐运动的周期（period），用T表示，T=2p/w，单位时间内物体完成全振动的次数叫做简谐运动的频率（frequency），用n表示，n=1/T=w/2p，w=2pn称为简谐运动的角频率（angularfrequency），简谐运动的周期、频率、圆频率是由振动系统本身的性质决定的，称为振动系统的固有周期、固有频率、固有圆频率。简谐运动也可定义为当物体所受的合力F与它相对于平衡位置的位移x成正比而方向相反即F=-kx时，物体的运动为简谐运动。简谐运动物体的速度、加速度简谐运动位移x=Acos(wt+j)简谐运动速度v=dx/dt=-wAsin(wt+j)=wAcos(wt+j+p/2)简谐运动加速度a=d2x/dt2=-w2Acos(wt+j)=w2Acos(wt+j+p)x、v、a振动步调不一致，v振动超前x振动p/2、a振动超前v振动p/2简谐运动物体的速度加速度简谐运动的旋转矢量表示法：矢量长度=A，A称为振幅矢量；t=0时A与x轴的夹角为j；A以w为角速度绕O点逆时针匀速转动；t时刻A与x轴的夹角为wt+j；A在ox轴上的投影为x=Acos(wt+j)为简谐运动。简谐运动的旋转矢量表示法振动系统的能量简谐运动位移方程x=Acos(wt+j)振动系统的势能Ep=(1/2)kx2=(1/2)kA2cos2(wt+j)振动系统的动能Ek=(1/2)mv2=(1/2)mw2A2sin2(wt+j)振动系统的总能量E=Ek+Ep=(1/2)kA2振动过程中，动能和势能不断相互转化，机械能守恒。振动系统的能量以上讨论的是物体在弹性力的作用下，不受任何阻力、作简谐运动的情况。作简谐运动的物体机械能守恒，物体将以不变的振幅永远振动。实际上，任何振动系统都要受到阻力的作用，振动系统要不断克服阻力做功，其能量逐渐减少，因而振幅也不断减小，以至于零，物体停止振动，这种振动叫阻尼振动（dampedvibration）。阻尼振动方程为w0为振动系统的固有频率，b为阻尼系数弱阻尼：bw0时，方程解为A和j为积分常数，由初始条件决定；。阻尼振动不再是简谐运动。过阻尼：bw0，此时物体以非周期性运动的方式缓慢地回到平衡位置。临界阻尼：当b=时，物体以最快的速度回到平衡位置，又刚刚不作往复运动，这种阻尼称为临界阻尼。受迫振动：振动系统受到阻尼作用会最终停止振动。要想获得一个持续稳定的等幅振动，必须对阻尼振动系统施加周期性外力—驱动力，驱动力不断做功给振动系统增加能量。振动系统在驱动力作用下的振动叫受迫振动（forcedvibration）。受迫振动达到稳定状态时，其等幅振动的角频率就是驱动力的角频率。驱动力的角频率为某一值时，振幅达到极大，这一现象叫做共振（resonance）。共振时驱动力的角频率称为共振角频率，其值为b越小，共振频率越接近于振动系统的固有频率w0，共振振幅也越大。共振是一种非常普遍的现象，广泛存在于声学、光学、无线电、原子物理及核物理等学科，并在工程技术、科学研究和医疗检测等领域得到广泛的应用。共振也有不利的一面，例如共振时因为系统振幅过大，会造成建筑物回仪器设备的损坏。当一物体同时参与两个或多个振动时，该物体的运动是几个振动的合成。根据被合成的两个简谐运动的特点可以将振动的合成分为以下几种情况：(A)同方向、同频率简谐运动的合振动仍是简谐运动，其频率与分振动的频率相同，振幅及初位相分别由两分振动的振幅和初位相决定；(B)同方向不同频率的简谐运动的合振动情形比较复杂，一般不再是简谐运动。当两个分振动的振幅相同，频率都较大且其差值很小时，产生拍现象；(C)垂直方向同频率简谐运动的合振动轨迹是椭圆，其具体形状决定于二分振动的相差和振幅；(D)垂直方向不同频率简谐运动的合振动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。特殊情况下，当两振动的频率只有很小的差异，可以近似地看作是同频率的合成，但相位差在缓慢地变化，因此合振动将按同频率垂直振动合成轨迹的形状依次缓慢变化；若两振动的频率成简单整数比，则轨迹为稳定的闭合曲线，称李萨如图。同方向、同频率简谐运动的合成同方向、同频率简谐运动的合成仍是简谐运动，其频率与分振动的频率相同，振幅及初位相分别由两分振动的振幅和初位相决定。以下讨论两个振动的合成。设同方向同频率的两个简谐振动的表达式分别为x1=A1cos(wt+j1)x2=A2cos(wt+j2)合振动的表达式为合振动的振幅合振动的初相同方向不同频率的简谐运动的合成同方向不同频率的简谐运动的合振动比较复杂，当分振动的频率都是其中一个最低频率的整数倍，合振动是周期性的振动，其频率等于那个最低的频率。讨论以下特殊情形。设两分振动的表达式分别为x1=Acos(w1t+j)x2=Acos(w2t+j)合振动的位移为合振动不再是简谐运动。当(w2-w1)(w2+w1)时，可看成是振幅为，角频率为的近似谐振动。因振幅随时间呈缓慢的周期性变化，所以振动出现忽强忽弱的现象，称为拍（beat）现象，单位时间内振动加强或减弱的次数称为拍频（beatfrequency），拍频等于两分振动的频率之差。〈〈垂直方向简谐运动合成动画〉〉垂直方向同频率简谐运动的合成以下讨论相互垂直的两个简谐振动的合成。设两个垂直方向同频率的简谐运动的表达式分别为：x=A1cos(wt+j1)y=A2cos(wt+j2)则合运动的轨迹方程为合运动一般是在2A1(x向)、2A2(y向)范围内的一个椭圆，椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋)在A1、A2确定之后，主要决定于Dj=j2-j1。垂直方向不同频率简谐运动的合成两个相互垂直的不同频率简谐运动的合运动情形比较复杂，轨迹曲线一般不稳定(随t变化)，也不一定闭合。常见的简单情形如下，若两分振动频率相差很小，则可以近似地看作是同频率的合成，但相位差随t在不断地缓慢变化，于是合运动轨迹将按同频率垂直振动合成曲线的形状依次缓慢变化。若两振动的频率成简单整数比，则轨迹为稳定的闭合曲线，称为李萨如图，图形的具体形状和两分振动频率的比值及初位相差有关。如果已知一个振动的周期，就可以根据李萨如图形求出另一个振动的周期，这是一种方便、常用的测定频率的方法。机械振动在媒质中的传播形成机械波，机械波的产生必须有波源及传播媒质。按照质元的振动方向及波的传播方向可划分为横波和纵波。描述波动的物理量为波长l、波的周期T及频率n、波速u。为研究问题方便，在真实波动中抽象出理想模型—平面波和球面波。平面简谐波是最简单、最基本的波动，在这种波的传播过程中，媒质的每一个质元都做简谐运动。一切复杂的平面波，利用傅立叶级数，都可以分解成若干平面简谐波。平面简谐波方程给出了距波源为任意x处的任一质元，在任一时刻的位移。波在媒质中传播时，媒质中的各个质元都在平衡位置附近振动，因而具有一定的振动动能，同时，各质元又发生形变，所以又具有一定的弹性势能，这样随着振动的传播就有机械能的传播。因此波动的传播是波形及能量的传播，各质元都在各自的平衡位置附近振动，而不是沿传播方向流动。波动过程中能量的传播的强弱用能流密度来表示。横波和纵波：媒质中各质元的振动方向与波的传播方向垂直的波，叫做横波（transversewave），如绳波等；媒质中各质元的振动方向与波的传播方向平行的波，叫做纵波（longitudinalwave），如声波等。横波和纵波是最简单的波，其它的机械波如水波、地震波等就比较复杂，但一般可分解为横波和纵波。横波的传播纵波的传播波的波长、周期、频率、波速：两个相邻的振动位相相同的点之间的距离为一个波长(wavelength)，波长反映了波在空间的周期性；波的周期和频率反映了波在时间上的周期性，波的周期(waveperiod)是波动传播一个波长所需要的时间，单位时间内传播的完整的波的数目为波的频率(wavefrequency)。波速(wavevelocity)是单位时间内波传播的距离，它主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)，与频率、波长等无关。它们之间的关系为u=l/T=ln。平面波和球面波：波在媒质中传播时，各质元的相位关系及传播方向常用几何图形加以描述，为此引入点波源、波线、波面、波前等概念。当波源的性质大小可被忽略时，称为点波源；沿波的传播方向的射线称为波线(waveray)；某一时刻波动到达各点连成的面，即位相相同的点组成的平面称为波面(wavesurface)，离波源最远即最前面的波面叫做波前(wavefront)；波前为平面的波称为平面波(planewave)，波前为球面的波称为球面波(sphericalwave)。显然，点波源，平面波及球面波都是真实波动的理想近似。平面简谐波方程设振幅为A，角频率为w，波长为l的平面简谐波沿ｘ轴正向传播，则距波源为ｘ处的任一质元，在任一时刻的位移为y=Acos（wt+j-2px/l）该式即为沿x轴正向传播的平面简谐波方程方程的物理意义：1.x为常数，此时位移y仅是时间t的函数，即y=Acos（wt+j-2px0/l）表示平衡位置在x0处质元的振动方程，其中j-2px0/l为该质元振动的初位相。2.t为常数，此时位移y仅是x的函数，即y=Acos（wt0+j-2px/l）表示介质中各质元离开它们平衡位置的位移分布。3.沿坐标轴负方向传播的平面简谐波方程为y=Acos（wt+j+2px/l）波的能量设均匀介质密度为r，小质元体积为dV，平面简谐波方程为y=Acosw(t-x/u)则该质元在ｔ时刻的动能为dEk=（1/2）rdVw