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1/14中考数学压轴题精编----安徽篇1.如图,已知ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k>1),且ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c=a1,求证:a=kc;(2)若c=a1,试给出符合条件的一对ABC和A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数,并加以说明;(3)若b=a1,c=b1,是否存在ABC和A1B1C1,使得k=2?请说明理由.2.如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结OG.(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;(2)求证:AE=BF;(3)若OG·DE=3(2-2),求⊙O的面积.BCAA1aAbAcB1C1a1b1c1ACBFDEOG2/143.已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2).(1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE∥PC交x轴于点E,连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.4.(本小题满分12分)如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧上一点,过M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点.(1)求证:PM=PN;(2)若BD=4,PA=23AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.ACxyBOBACDPNOM3/145.如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A(0,1)、B(-33,1)、C(-33,0)、O(0,0).将此矩形沿着过E(-3,1)、F(-334,0)的直线EF向右下方翻折,B、C的对应点分别为B′、C′.(1)求折痕所在直线EF的解析式;(2)一抛物线经过B、E、B′三点,求此二次函数解析式;(3)能否在直线EF上求一点P,使得PBC周长最小?如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.6.已知:甲、乙两车分别从相距300(km)的M、N两地同时出发相向而行,其中甲到达N地后立即返回,图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象.(1)试求线段AB所对应的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)当它们行驶到与各自出发地的距离相等时,用了29h,求乙车的速度;(3)在(2)的条件下,求它们在行驶的过程中相遇的时间.xyOBCEFABOy∕kmAx∕h3427甲300图1COy∕kmx∕h乙300图24/147.如图1,在△ABC中,AB=BC,且BC≠AC,在△ABC上画一条直线,若这条直线..既平分△ABC的面积,又平分△ABC的周长,我们称这条线为△ABC的“等分积周线”.(1)请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC的“等分积周线”;(2)在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”?若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由;(3)如图2,若AB=BC=5cm,AC=6cm,请你找出△ABC的所有“等分积周线”,并简要说明确定的方法.8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点P以一定的速度沿AC边由A向C运动,点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动,设P、Q同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).(1)若点P以43cm/s的速度运动①当PQ∥AB时,求t的值;②在①的条件下,试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系,并说明理由.(2)若点P以1cm/s的速度运动,在整个运动过程中,以PQ为直径的圆能否与直线AB相切?若能,请求出运动时间t;若不能,请说明理由.ABC图2ABC图1ACBPQACB备用图5/149.青海玉树发生7.1级强震后,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官兵发扬了连续作战的作风。刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令,一分队立即出发前往距营地30千米的A镇;二分队因疲劳可在营地休息a(0≤a≤3)小时再前往A镇参加救灾。一分队出发后得知,唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用1小时打通道路。已知一分队的行进速度为b千米/时,二分队的行进速度为(4+a)千米/时.(1)若二分队在营地不休息,要使二分队在最短时间内赶到A镇,一分队的行进速度至少为多少千米/时?(2)若b=4千米/时,二分队和一分队同时赶到A镇,二分队应在营地休息几小时?10.如图1、2是两个相似比为1:2的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.(1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E、F,如图4.求证:AE2+BF2=EF2;(2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由.;B图2ACB图3ACDD图1B图4ACDEFB图5ACDEFBACDEFMN6/14参考答案1.解(1)证:∵△ABC∽△A1B1C1,且相似比为k(k>1),∴1aa=k,∴a=ka1又∵c=a1,∴a=kc··················································································3分(2)解:取a=8,b=6,c=4,同时取a1=4,b1=3,c1=2······························8分此时1aa=1bb=1cc=2,∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1·····································10分注:本题也是开放型的,只要给出的△ABC和△A1B1C1符合要求就相应赋分.(3)解:不存在这样的△ABC和△A1B1C1.理由如下:若k=2,则a=2a1,b=2b1,c=2c1又∵b=a1,c=b1,∴a=2a1=2b=4b1=4c∴b=2c·································································································12分∴b+c=2c+c=3c<4c=a,而b+c>a故不存在这样的△ABC和△A1B1C1,使得k=2.···········································14分2.解:(1)猜想:OG⊥CD.证明:如图,连结OC、OD,则OC=OD.∵G是CD的中点∴由等腰三角形的性质,有OG⊥CD.·················2分(2)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.而∠CAE=∠CBF(同弧所对的圆周角相等).在Rt△ACE和Rt△BCF中∵∠ACE=∠BCF=90°,AC=BC,∠CAE=∠CBF∴Rt△ACE≌Rt△BCF.(ASA)∴AE=BF.············································································6分(3)解:如图,过点O作BD的垂线,垂足为H,则H为BD的中点.∴OH=21AD,即AD=2OH.又∠CAD=∠BAD,∴CD=∠BD,∴OH=OG.在Rt△BDE和Rt△ADB中∵∠DBE=∠DAC=∠BAD,∴Rt△BDE∽Rt△ADB.∴ADBD=DBDE,即BD2=AD·DE.∴BD2=AD·DE=2OG·DE=6(2-2).······································8分又BD=FD,∴BF=2BD.∴BF2=4BD2=24(2-2).……………………………………①.·······9分设AC=x,则BC=x,AB=2x.ACBFDEHOG7/14∵AD是∠BAC的平分线,∴∠FAD=∠BAD.在Rt△ABD和Rt△AFD中∵∠ADB=∠ADF=90°,AD=AD,∠FAD=∠BAD∴Rt△ABD≌Rt△AFD.(ASA)∴AF=AB=2x,BD=FD.∴CF=AF-AC=2x-x=(2-1)x.在Rt△BCF中,由勾股定理,得BF2=BC2+CF2=x2+[(2-1)x]2=2(2-2)x2.…………②.······10分由①、②,得2(2-2)x2=24(2-2).∴x2=12,∴x=32或32-(舍去).∴AB=2x=2·32=62.∴⊙O的半径长为6.·····························································11分∴S⊙O=π·(6)2=6π.··························································12分3.解:(1)由题意得203912----+===ccbaab·································································2分解得a=32,b=34,c=-2.∴这条抛物线的函数表达式为y=32x2+34x-2··································4分(2)如图,连结AC、BC.由于BC的长度一定,要使△PBC的周长最小,必须使PB+PC最小.点B关于对称轴的对称点是点A,AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P.设直线AC的表达式为y=kx+b,则203--+==bbk················································6分解得k=-32,b=-2.∴直线AC的表达式为y=-32x-2·······························7分把x=-1代入上式,得y=-32×(-1)-2=-34.∴点P的坐标为(-1,-34)·························································8分(3)S存在最大值,理由如下:∵DE∥PC,即DE∥AC,∴△OED∽△OAC.ACyBOPDEx8/14∴ODOE=OCOA,即mOE-2=23,∴OE=3-23m,∴AE=23m.方法一:连结OPS=S△POE+S△POD-S△OED=21×(3-23m)×34+21×(2-m)×1-21×(3-23m)×(2-m)=-43m2+23m·········································································10分∵-43<0,∴S存在最大值.·······················································11分∵S=-43m2+23m=-43(m-1)2+43∴当m=1时,S最大=43.···························································12分方法二:S=S△OAC-S△OED-S△PAE-S△PCD=21×3×2-21×(3-23m)×(2-m)-21×23m×34-21×m×1=-43m2+23m···········
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