数学建模

第1页姓名：________________班级：_________________联系电话：_________________姓名：________________班级：________________联系电话：________________姓名：_______________班级：________________联系电话：_______________摘要生产销售最优化问题是企业和商家生产的经营管理得一个重要环节，企业内部的生产计划有各种不同的情况，从空间层次看，在工厂及要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制定产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制定生产作业计划。从时间层次看，若在短时间馁认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制定单阶段生产计划，否则就要制定多阶段生产计划。作为一个最优化问题，我们觉得最优先选择用线性规划的方法去解决，计算出结果后尝试用其他方法去检验，是否有误差等等，例如用LINGO,LINDO等软件进行操作，我们还对“资源”英姿价格作进一步分析。关键词：奶制品生产与销售线性规划第2页目录一．问题的重述....................................................3二．问题的分析...................................................3三．模型的假设和约束条件..........................................33.1模型假设......................................................33.2约束条件如下..................................................4四．符号的说明....................................................4五．数学模型的建立与求解..........................................41）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大？....................42）33元可买到1桶牛奶，买吗？...................................53）若买，每天最多买多少?.........................................64）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?....................65)A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？...................7六．对资源影子的进一步分析........................................8七．模型的评价...................................................9八．参考文献.....................................................9第3页一．问题的重述一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大？（2）33元可买到1桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?(5)A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？二．问题的分析这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2，决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、设备甲的加工能力三．模型假设和约束条件3.1模型假设（1）假设A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；（2）假设A1,A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；（3）假设加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意常数。3.2约束条件如下原料供应：生产A1,A2的原料(牛奶)总量不超过每天的供应50桶,即x1+x2≤50劳动时间：生产A1,A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时,即12x1+8x2≤480设备能力：A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时,即3x1≤100非负约束：x1,x2均不能为负值,即x1≥0,x2≥0综上所述可得Maxz=72x1+64x2(1)x1+x2≤50(2)12x1+8x2≤480(3)3x1≤100(4)x1≥0,x2≥0(5)四．符号说明A1,A2:牛奶的两种类型第4页X1:每天用于生产A1的牛奶的桶数X2:每天用于生产A2的牛奶的桶数X3:A1牛奶的公斤数X4:A2牛奶的公斤数Z3::增加劳动时间后的获利值A:利润增加值Z：每天获利值Z＇：以33元为一桶牛奶时，牛奶桶数Z＂：改变生产计划后的获利值五．数学模型的建立与求解1）:试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大？1)数学模型：设每天用x1桶牛奶生产A1,用x2桶牛奶生产A22)目标函数：设每天获利为z元.x1桶牛奶可生产3x1公斤A1,获利24*3x1,x2桶牛奶可生产4x2公斤A2,获利16*4x2,故z=72x1+64x2显然,目标函数和约束条件都是线性的,这是一个线性规划，求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划,要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响,一般称为敏感性(或灵敏度)分析.用线性规划知识求解此问题1：在软件中中输入x1+x2≤50(2)12x1+8x2≤480(3)3x1≤100(4)x1≥0,x2≥0(5)便出现如图所示的图像图5—1—1在软件中，单击菜单栏中的“直线”输入斜率为：-72/64截距为：Z/64。通过拖动变量尺，拖动目标函数图像，在拖动过程中我们可以清楚的看到Z值的变化情况，直到目标函数经过B点的时候，Z的值可以观察到已经达到最大值。如图所示：图5—1—2第5页用相应知识处理以后结果如下:当用20桶牛奶生产A1,用30桶生产A2,厂商获得的最大利润3360元.2）33元可买到1桶牛奶，买吗？假如33元可以买到一桶牛奶，则每天买牛奶的总成本为：33x1+33x2，则线性约束条件变为了，Maxzˊ=72x1+64x2-(33x1+33x2)(1)x1+x2≤50(2)12x1+8x2≤480(3)3x1≤100(4)x1≥0,x2≥0(5)33x1+33x2≤1650同样的思路：在软件中中输入x1+x2≤50(2)12x1+8x2≤480(3)3x1≤100(4)x1≥0,x2≥0(5)33x1+33x2≤1650便出现如下图所示的图形：图5—2第6页在软件中，单击菜单栏中的“直线”输入斜率为：-39/31截距为：Z/31。Maxzˊ=72x1+64x2-(33x1+33x2)3）若买，每天最多买多少?通过拖动变量尺，拖动目标函数图像，在拖动过程中我们可以清楚的看到Z值的变化情况，直到目标函数经过E点的时候，Z的值可以观察到已经达到最大值。如图所示：图5—3用相应知识处理以后结果如下:在购买一桶牛奶的价格为33元时，其仍然在购买A1为20桶，A2为30桶的时厂商获得的总利润为1710元。因此在这个条件下之下买。4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?目标函数：设劳动时间增加1单位，，获利Z3元，利润增长A元，则目标函数为Z3=24x5+16x6约束条件：X3/3+X4/4=5012(X3/3)+8(X4/4)≤4810≤X3≤1000≤X4对此问题的解决得：第7页X3/3+X4/4=502X3+X4≤240.50≤X3≤1000≤X4最优解为（60.75,119）Z3=24x60.75+16x119=3362A=Z3-Z=3362-3360=2(元)故劳动时间增加一单位，利润增加2元，因此聘用临时工人，付出工资最多是每小时2元。5)A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？目标函数：设每天获利为z＂元.x1桶牛奶可生产3x1公斤A1,获利30*3x1,x2桶牛奶可生产4x2公斤A2,获利16*4x2,故z＂=90x1+64x2约束条件如下：1.原料供应：生产A1,A2的原料(牛奶)总量不超过每天的供应50桶,即x1+x2≤502.劳动时间：生产A1,A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时,即12x1+8x2≤4803.设备能力：A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时,即3x1≤1004.非负约束：x1,x2均不能为负值,即x1≥0,x2≥0综上所述可得Maxz＂=90x1+64x2(1)x1+x2≤50(2)12x1+8x2≤480(3)3x1≤100(4)x1≥0,x2≥0(5)对此问题的解决：在软件中中输入x1+x2≤50(2)12x1+8x2≤480(3)3x1≤100(4)x1≥0,x2≥0(5)便出现如图所示的图像：图5—5—1第8页在软件中，单击菜单栏中的“直线”输入斜率为：-90/64截距为：Z/64。Maxz＂=90x1+64x2通过拖动变量尺，拖动目标函数图像，在拖动过程中我们可以清楚的看到Z值的变化情况，直到目标函数经过F点的时候，Z的值可以观察到已经达到最大值。如图所示：图5—5—2用相应知识处理以后结果如下:假如A1的获利增加到30元/公斤时，其线性约束条件没有改变，改变的是目标函数，则仍然是购买A1为20桶，购买A2为30桶时，厂商获得的总利润为3724，因此不需要改变生产计划。六．对“资源”的影子价格作进一步分析第9页敏感性分析给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围：milk)原来最多增加10（桶牛奶），time)劳动时间最大增加53（小时）。现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买一桶牛奶的投资，但每天最多购买10桶牛奶。顺便说，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53小时。七．模型评价本例在产品利润、加工时间等参数均可设为常数的情况下，建立了线性规划模型；线性规划模型的三要素是；决策变量、目标函数和约束条件；线性规划模型可以方便地用LINDO软件求解，得到内容丰富的输出，利用其中的影子价格和灵敏性分析，可对模型结果做进一步的研究，他们对实际问题是常常有益的。八．参考文献[1]赵静但琦数学建模与数学实验高等教育出版社[2]韩中庚数学建模方法及其应用解放军信息工程大学[3]张景中超级画板培训讲义张景中院士著[4]白其峥数学建模案例分析海洋出版社小组分工姓名班级负责项目学习课程（注：关于数学、物理、经济、编程的课程）班级排名