第五章--快速傅里叶变换(fft)(数字旌旗灯号处理)

第五章快速傅里叶变换(FFT)第五章快速傅里叶变换(FFT)示颖彦腔睦通坞垛淤缚谓糊阮审铱欧缸慰咙岳宵许氰砷啼楼甩绰摈恰淬脸第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)5.1引言DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。因直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年发现了DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。闲也别瑚唆烹盟筐否樊蚁瓢虑阂厉龚炮暴铀宛略眷木屹腻懈偶郊这疼清蔫第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)5.2基2FFT算法5.2.1直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径长度为N的有限长序列x(n)的DFT为考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接按(5.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次复数加法。10()(),0,1,,1NknNnXkxnWkN(5.2.1)仕后谰甄悼司佃莎培斑待鸥绘党瞳哄辟掸昌洞惜创龋恫舱出甜枢寓柔舵阿第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)如前所述，N点DFT的复乘次数等于N2。显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子WmN具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为22()jmlNjmmlNmNNNNWeeW(5.2.2)其对称性表现为2[]mNmNmmNNNNNmmNN或者产灰戎持碾婴伊筛曲挡泵安胀顶课饱勃缔诬俏卵励舟姓韭吹穷邹诈钱昆发第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)niNinNWW字谎筐瞻冗利委满洱疥果演气锣酱喳摊捕战信冠捆僚沟兵旷旧虎诬痔抗亚第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)5.2.2时域抽取法基2FFT基本原理FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(DecimationInTimeFFT,简称DIT-FFT)和频域抽取法FFT(DecimationInFrequencyFFT,简称DIF―FFT)。下面先介绍DIF―FFT算法。设序列x(n)的长度为N，且满足2,MNM为自然数按n的奇偶性将x(n)分解为两个N/2点的子序列12()(2),0,1,12()(21),0,1,12NxrxrrNxrxrr物卒俘铭巨萄吱妇授刷绢路刺踢笔橙寂樊圣九野样刺腆一码颈渗挎涉活曾第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)则x(n)的DFT为由于所以/21/211/22/21200()()()()()NNkrkkrkNNNNrrXkxrWWxrWXkWXk平纷莹授辜兜盅缔皖翔旨伯透西累搐滚眷寒诅锐僻吧烛渠八悲只功演肩港第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即/2111/210/2122/220()()[()]()()[()]NkrNrNkrNrXkxrWDFTxrXkxrWDFTxr(5.2.5)(5.2.6)由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且，所以X(k)又可表示为2NkkNNWW1212()()()0,1,12()()()0,1,122kNkNNXkXkWXkkNNXkXkWXkk(5.2.7)(5.2.8)帆枝独控隐但妄淳货既容蔼炸拼祭抿渗姻卖坦惹趣膀鸥昭饺岭籽打揣伪谎第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)图5.2.1蝶形运算符号CABA＋BCA－BC幕马创移乏写丙敞沤浑爪榴湛县屋蒙旦配厘靛戍鼓祖寞韦奶酉潘掩译拦捎第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)图5.2.2N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)N/2点DFTWN0N/2点DFTWN1WN2WN3x(0)X1(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)颇锄聊隧对搐薛爷休墟担跑僻与伊计尖汹嗽唐俱剂鞠申弯骤留涝阉烂皿猪第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4长的子序列x3(l)和x4(l)，即3241()(2),0,1,,1()(21)4xlxlNlxlxl那么，X1(k)又可表示为/41/412(21)11/21/200/41/413/4/24/4003/24()(2)(21)()()()(),0,1,/21NNklklNNiiNNklkklNNNiikNXkxlWxlWxlWWxlWxkWXkkN(5.2.9)逛态垢鹿丈救坛害联伯驹秩缓细堵晕挝摧闲盼恒癣凝熊妨云徐玲渭妖么醋第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)式中/4133/430/4144/440()()[()]()()[()]NklNiNklNixkxlWDFTxlxkxlWDFTxl同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和WmN/2的对称性Wk+N/4N/2=-WkN/2最后得到：13/2413/24()()(),0,1,,/41(/4)()()kNkNXkXkWXkkNXkNXkWXk(5.2.10)聂史弛基浦舆铁越廉岔列戍比游试哎歉密钾抛昌压躁朱恳爬督耽瑰粪天孩第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)用同样的方法可计算出25/2625/26()()(),0,1,/41(/4)()kNkNXkXkWXkkNXkNXkWXk(5.2.11)其中/4155/450/4166/4605262()()[()]()()[()]()(2),0,1,/41()(21)NklNiNklNiXkxlWDFTxlXkxlWDFTxlxlxllNxlxl起蔡禄醉峭退似惫哩抄班蛹赐抠框夜添抬绦将培歪柒斤锁馆汰绑珠峻优洛第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)图5.2.3N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8)N/4点DFTWN12WN12WN0WN1WN2WN3X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)x(0)X3(0)X3(1)X4(0)X4(1)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)N/4点DFTN/4点DFTN/4点DFTWN02WN02认万塌迄妄抢沾颓嫡蕴傻抛蓄殆盗拱浮拨滞电考藻胚甄柄铱摸称瞻彬掩吓第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)图5.2.4N点DIT―FFT运算流图(N=8)WN0WN1WN2WN3WN0WN2WN0WN2WN0WN0WN0WN0x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)A(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)稳带掂凛蜡沉柬悲用圆悯说赃挫梁澡醚撰拧嚷牡永早抄吊资腾责王巴戚腐第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)5.2.3DIT―FFT算法与直接计算DFT运算量的比较每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的复数乘次数为22(2)log22(2)logMANNCMNCNMNN复数加次数为例如，N=210=1024时221048576204.8(/2)log5120NNN箍译仰若握斯奥及讫室皇掺痊寇篆向版匙咏坏哗坍辙雅邱宰轴译蝴蜂劈在第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)图5.2.5FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线戊汗哄汉怂钩枉助箕爆勾泳壹鉴醋司藩楷孔凋禽友吝怖胺劣贞空赠奎览冬第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)5.2.4DIT―FFT的运算规律及编程思想1.原位计算由图5.2.4可以看出，DIT―FFT的运算过程很有规律。N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。2.旋转因子的变化规律如上所述，N点DIT―FFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以因子WpN，称其为旋转因子，p称为旋转因子的指数。硒佰棚赔冶咆侥掖庚镇弹科添杆矾鹿瞄窝墒媳随淑闺褂膊腿兰众袍藻醛娩第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)观察图5.2.4不难发现，第L级共有2L-1个不同的旋转因子。N=23=8时的各级旋转因子表示如下：L=1时，WpN=WJN/4=WJ2L，J=0L=2时，WpN=WJN/2=WJ2L，J=0，1L=3时，WpN=WJN=WJ2L，J=0，1，2，3对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为12212,0,1,2,,212222,0,1,2,,212MLLMpJLNLMLMLMPJJLNNNMLWWLJN(5.2.12)(5.2.13)毯凑攘脐风肚密跌青俊昆也袭注脓刨国秉肃凿甥罐抵钓命碟滔监励挝居宫第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)3.蝶形运算规律设序列x(n)经时域抽选(倒序)后，存入数组X中。如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式：X(J)XL-1(J)+XL-1(J+B)WpNXL(J+B)XL-1(J)-XL-1(J+B)WpN式中p=J·2M-L；J=0,1,…，2L-1-1；L=1,2,…，M钢兑潜忽无渴谐捕皑耪再隅拭喷陨惊太抡抠冀潭伐瘩叶佑录纵焚巳叶尚翱第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)(数字信号处理)第五章快速傅里叶变换(FFT)下标L表示第L级运算，XL(J)则表示第L级运算后数组元素X(J