第04讲-直线参数t的几何意义-2020届一轮复习数学套路之极坐标与参数方程(解析版)

12第四讲直线参数t的几何意义1．直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为00cos(sinxxttyyt为参数）(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sinα≥0.2．直线参数方程中参数t的几何意义参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．(1)当0MM与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．(2)当0MM与e反向时，t取负数，(3)当M与M0重合时，t＝0.3.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为为参数）ttyytxx(sincos00若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0=t1＋t22；(2)|PM|=|t0|=t1＋t22；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|（5）212121212121212()4,0,0ttttttttPAPBtttttt当当（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）【特别提醒】(1)直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,tt，则弦长12ltt；知识解读12考向一参数t的系数的平方和为1【例1】已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋4cosθ，y＝2＋4sinθ(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．【答案】（1）见解析（2）3【解析】(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，直线l：x＝3＋12t，y＝5＋32t(t为参数)．(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋33)t－3＝0，设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.学科&网知识运用【总结套路】第一步--化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步--查：检查直线参数t的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步；第三步--代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：02cbtat第四步--写：写出韦达定理：acttabtt2121,第五步--选：选择公式代入计算。12【举一反三】1.已知曲线C1的极坐标方程为2sin4cos，C2的参数方程为232(232xttyt为参数）（1）将曲线C1与C2的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若C1与C2相交于A、B两点，求AB.【答案】(1)曲线C1的普通方程y2=4x,C2的普通方程x+y-6=0；（2）=414AB【解析】（1）曲线C1的普通方程为y2=4x，曲线C2的普通方程为x+y-6=0（2）将C2的参数方程代入C1的方程y2=4x，得2223=4322tt（）（）整理可得210260tt，由韦达定理可得1212102,6tttt121212()4414ABtttttt2.已知曲线C的极坐标方程是4sin0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为34.（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求MAMB的值.【答案】（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+(y-2)2=4，直线l的参数方程为212(22xttyt为参数）（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）因为曲线C的极坐标方程是4sin0即曲线C的直角坐标方程为：x2+(y-2)2=412直线l的参数方程31+tcos4(3sin4xtyt为参数）即212(22xttyt为参数）（Ⅱ）设点A、B对应的参数分别为t1，t2将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2222(1)(2)422tt整理，得23210tt，由韦达定理得121232,1tttt因为t1t20，所以121232MAMBtttt考向二t系数平方和不等于1【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C的参数方程为12{22xtyt（t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，曲线2C的极坐标方程为：22cossin.（Ⅰ）将曲线1C的方程化为普通方程；将曲线2C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点1,2P，曲线1C与曲线2C的交点为AB、，求PAPB的值.【答案】(Ⅰ)12:30,:CxyC22yx；（Ⅱ）62.【解析】（Ⅰ）1:3Cxy，即：30xy；222:sin2cosC，即：22yx（Ⅱ）方法一：由t的几何意义可得C1的参数方程为212(t222xtyt为参数）代入22:2Cyx得26240tt∴1262tt，∴1262PAPBtt.方法二：12把1:3Cxy代入22:2Cyx得2890xx所以128xx，129xx所以221212111111211PAPBxxxx1221128262xx【举一反三】1.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为3(3xttyt为参数）数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为cos.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点M(3,0)，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求MAMB的值.【答案】（1）直线l的普通方程为330xy，曲线C的直角坐标方程(x-2)2+y2=4；（2）433MAMB【解析】（1）直线l的普通方程为330xy【总结套路】直线参数t几何意义运用最终版套路第一步--化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步--查：检查直线参数t的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步；如果否，则先化1.2202200022(tabytaxxtxxatabtyybtbyytab前的系数同时除以保证中的的系数为正数为参数）第三步--代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：02cbtat第四步--写：写出韦达定理：acttabtt2121,第五步--选：选择公式代入计算。12因为曲线C的极坐标方程为cos.所以曲线C的直角坐标方程(x-2)2+y2=4；(2)点M(3,0)在直线l上，且直线l的倾斜角为120°，可设直线的参数方程为：132(32xttyt为参数）代入到曲线C的方程得：t+(2-3)3430t，由韦达定理得121232,43tttt由参数的几何意义知12433MAMBtt。2.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2sin306，曲线C的参数方程是2{2xcosysin（为参数）.（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求PAPB.【答案】(1)C的普通方程为224xy,l的普通方程为330xy;(2)33.【解析】（Ⅰ）2sin306，化为3sincos30，即l的普通方程为330xy，2{2xcosysin消去，得C的普通方程为224xy.（Ⅱ）在330xy中令y=0得P(3,0），∵3k=-3，∴倾斜角56，12∴l的参数方程可设为536{506xtcosytsin即332{12xtyt，代入224xy得23350tt，1233tt，1250tt，12PAPBtt1233tt.学科&网考向三常考公式的变形运用【例3】已知直线l的参数方程为12{32xmtyt（其中t为参数，m为常数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin，直线l与曲线C交于点,AB两点.（1）若152AB，求实数m的值；（2）若1m，点P坐标为1,0，求11PAPB的值.【答案】（1）32m或36；（2）13.【解析】（1）曲线C的极坐标方程可化为22sin，转化为普通方程可得222xyy，即2211xy.把12{32xmtyt代入2211xy并整理可得2230tmtm*，由条件可得22340mm，解之得333m.设A、B对应的参数分别为12,tt，则123ttm，2120ttm，1221212124ABtttttt2215342mm，解之得32m或36；（2）当m=1时，*式变为21310tt，1213tt，121tt，由点P的坐标为(1,0)可得11PAPB12121212121113tttttttttt.[举一反三]1.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为2cos(-1=04），曲线C的参数方程是24(4xmmym为参数）（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求11MAMB.【答案】（1）直线l的直角坐标方程x-y-1=0，曲线C的普通方程y2=4x；（2）1【解析】（1）由2cos(-1=04），得x-y-1=0因为曲线C的参数方程是24(4xmmym为参数）得y2=4x，所以直线l的直角坐标方程为x-y-1=0，曲线C的普通方程为y2=4x.（3）点M的直角坐标为(1,0)，点M在直线l上.设直线l的参数方程为212(22xttyt为参数）代入y2=4x，得4280tt.设点A、B对应的参数分别为t1、t2，则121242,8tttt，1212121212()411323218ttttttMAMBtttt.122.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为242(232xttyt为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22(3sin=12）.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且设定点P(2,1)，求PBPAPAPB的值.【答案】（1）l普通方程为x-y-1=0，C直角坐标方程为22143xy；（2）867【解析】（1）由直线l的参数方程消去t，得普通方程为x-y-1=0.因为曲线C的极坐标方程为22(3sin=12）.得曲线C的直角坐标方程为22143xy.（2）点P(2,1)在直线x-y-1=0上，所以直线l的参数方程可以写为222(212xttyt为参数），将上式代入22143xy，得2720280tt.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则12122028,77tttt，22222027()280877PBPAPBPAPAPBPAPBPAPBPAPBPAPB12考向四利用t的几何意义