中职数学三角函数知识点复习

三角函数知识点复习1、角的概念的推广x),(正角负角oy的终边的终边零角一、角的有关概念正角：负角：零角：当射线没有作任何旋转时，所形成的角按逆时针方向旋转所形成的角按顺时针方向旋转所形成的角特别提醒：时钟上的时针、分针、秒针转过的角均为负角！终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。xyO360,2kkkZ弧度制表示：2、终边相同的角所有与角终边相同的角都可以表示为：一、角的有关概念OyxⅠⅡⅢⅣ你能写出四个象限对应的角的集合吗？1|36036090SkkkZ对应四个象限，分别用、、、来表示：1s4s3s2s2|360+360180SkkkZ3|360+18360270SkkkZ4|360+27360360SkkkZ090180270360一、角的有关概念3、象限角角的始边在x轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．OyxⅠⅡⅢⅣ090180270一、角的有关概念4、界限角角的始边在x轴的非负半轴上，终边在坐标轴上的角叫做界限角。你能写出界限角的集合吗？终边在x轴上的角的集合为：|180,kkZ|90180,kkZ终边在y轴上的角的集合为：思考：终边在y轴负半轴上的角的集合怎么表示？|270360,kkZ一、角的有关概念6、角度与弧度的互化180180π1185757.30)π180(1,弧度5、弧度的定义把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角lr(rad)0304560901802703600643222度弧度例1．分针每分钟转过度；时针每小时转过度；时针一昼夜转过度。630720分析：尽管我们现在学的是任意角，不能再把自己对角的认识局限于0°~360°，但是对象限角的判断还是要在0°~360°或者弧度制的0~2π范围内找到与所求角终边相同的角，才更好判断！终边相同的角相差360°或弧度制的2π的整数倍..A第一象限角.B第二象限角.C第三象限角.D第四象限角例2、为（）263262=8+33是第二象限角23∴选B例3、将下列弧度转化为角度，角度化为弧度：(1)=_____；(2)=_____；(3)36°=_____rad；(4)-105°=_____rad．例4、弧度数为4的角的终边落在第______象限．12136解：OyxⅠⅡⅢⅣ0232例3.例41801()57.305718'π弧度180π1180155390712三二、弧长公式弧长公式：RLαlR补充：弧度面积公式：21122SlRRlr(rad)180nRl2360nRS初中公式例5、已知一段公路的弯道半径是30m,转过的圆心角是120°，求该弯道的长度（精确到1m）.分析：这里涉及到弧长公式初中公式高中公式180nrllr如果用弧度制，就要先算出圆心角的弧度数：12030=63180180nrlm𝛼=120∘=120×𝜋180=2𝜋3𝑙=|𝛼|𝑟=2𝜋3×30≈63𝑚分析：例6、铁路转弯处成圆弧形，圆弧半径是2km,一列火车以30km/h的速度通过，求10秒钟火车转过的角度（用弧度表示）.10秒钟火车通过的弧长是：10130=360012km1112===224lrr=2km三、任意角的三角函数定义xyo●P(x,y)r的终边xyrxrytan,cos,sin22yxr普高教材对三角函数的定义就是：αPx,y设角的终边与单位圆交于一点sin;cos;tan0.yyxxx则：)sin,(cosPxoy,Pxy11r1、任意角的三角函数定义：三、任意角的三角函数定义2、任意角的三角函数在各象限的正负：xyOsinxyOcosxyOtan－＋＋＋＋＋＋－－－－－口诀1：一全正，二正弦，三正切，四余弦口诀2：正弦上为正，余弦右为正，正切奇为正,Pxy22rOPxy在角的终边上任取一点，，则：sinyrcosxrtanyx定义：分析：此题中：xn4y5r44=sin5r例7、设点在角的终边上，且，求与的值.4sin=5,4Pncostan22+45n即29n3n当n=3时，角为第一象限角3cos==5xr4tan=3yx当n=-3时，角为第二象限角3cos==5xr4tan==3yx口诀：sincostan正弦上为正，余弦右为正，正切奇为正.OyxⅠⅡⅢⅣ四、同角三角函数的基本关系式商数关系：sintancos2k平方关系：1cossin22商数关系常见变形:sintancossincostan222sintancos平方关系常见变形:22sin1cos,2sin1cos2cos1sin22cos1sin,解：8sin172cos1sin15=17是第四象限角sin8tancos1515cos17当时，15cos17当时，是第三象限角8tan15例8、已知，求的值.8sin17costan和对于任意角，都有：R平方关系:22sincos1商数关系:sintancos2kkZ，平方关系常见变形:22sin1cos,2sin1cos2cos1sin22cos1sin,解：tan3sintancos由得又是第一象限角22sin=9cos222sintan=9cos例9、已知，且是第一象限角，求的值.tan3sin和cos22sincos1又22sin=91sin29sin=10310sin10310sin10sin10cos=tan10对于任意角，都有：R平方关系:22sincos1商数关系:sintancos2kkZ，商数关系常见变形:sintancossincostan222sintancostan2例10已知，方法指导：此类例题（齐次式）有两种方法：方法一：切化弦.将正切化成正、余弦之间关系，再代入齐次式求出结果；方法二：弦化切.将齐次式的分子分母同除以余弦（二次齐次式除以余弦的平方），式中的正弦化成了正切，余弦化成了常数，再将正切值代入就可以求出结果.2sincos12sinsincos2sincos求；的值（1）解：方法一（1）解：方法二tan2,sin2cos由可得sincos2sincos2coscos22coscos1tan2sincos2sincostan12tan1212211切化弦弦化切tan2例10已知，2sincos123sinsincos2sincos求；的值（2）解：方法一（2）解：方法二tan2,sin2cos由可得22222223sinsincos3sinsincossincos32cos2coscos22coscostan2切化弦弦化切tan2例10已知，2sincos123sinsincos2sincos求；的值2222223sinsincos3sinsincossincos3tantan2tan1特殊角的三角函数值五、特殊角的三角函数值：tan)tan(cos)cos(sin)sin(.tan)tan(,cos)cos(sin)sin(，tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk诱导公式二诱导公式三诱导公式一诱导公式四tan)tan(cos)cos(sin)sin(（把α看成锐角）符号看象限公式记忆六、诱导公式用诱导公式求值的一般步骤任意负角的三角函数用公式二或公式一任意正角的三角函数0°到360°的角的三角函数用公式三或公式四锐角三角函数求值用公式一可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”例11、已知角α的终边经过点.(1)求cosα的值；(2)求的值．43,55Psintan2sincos3解：,Pxy22rOPxy在角的终边上任取一点，，则：sinyrcosxrtanyx定义：431,55P角的终边经过点4cos5sintan22sincos3costansincos1cos54的三角函数关系口诀是：奇变偶不变，符号看象限2kkZ角与角OyxⅠⅡⅢⅣ函数简图定义域值域与最值单调性奇偶性周期性对称性七、三角函数的图像和性质：正弦函数和余弦函数的图像和性质：sinyxcosyxRR1,1值域：1,1值域：min212xky当时，max212xky当时，kZkZmin21xky当时，max21xky当时，2,222kk在上为增函数32,222kk在上为减函数kZkZ2,2kk在上为增函数2,2kk在上为减函数奇函数偶函数22,0k关于点中心对称，2xk关于直线轴对称,02k关于点中心对称，xk关于直线轴对称kZkZ1yx-1Oπ3π2π4ππ－π－23π－sinyx，xR1yx-1oπ3π2π4ππ－π－2cosyxxRsin1xcos1x例12、观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间．解：1yx-1Oπ3π2π4ππ－π－23π－sinyx，xR1yx-1oπ3π2π4ππ－π－2cosyxxR1sin0;2cos0.xx12,2,kkkZ22,2,22kkkZ例13、下列各等式能否成立．解：1yx-1Oπ3π2π4ππ－π－23π－sinyx，xR1yx-1oπ3π2π4ππ－π－2cosyxxR212cos3;2sin0.5.xx12cos3x由得22sin0.5x由得3cos2x1cos1x又∴（1）式不成立2sin2x1sin1x再由知（2）式成立.例14、求下列函数的最大值与最小值，并求出自变量的相应的取值．解：1yx-1Oπ3π2π4ππ－π－23π－sinyx，xR1yx-1oπ3π2π4ππ－π－2cosyxxR1y3sin2;223cos.3xxyx1sin21,x当2,,24xkxkkZ即2时，max313ysin21,x当2,,24xkxkkZ即2时，min313y