第6讲-算符的运算规则

1量子力学光电子科学与工程学院王可嘉第六讲算符的运算规则厄米算符2第6讲目录一、算符引入的回顾二、力学量在坐标表象下算符的形式三、算符的运算规则四、算符的对易关系五、厄米算符六、例题3一、算符引入的回顾rdrirpdpppp3*3*)())(()()(rdrprp3*)(ˆ)()(ˆyyxeyeyexiip为了在坐标表象中计算动量的平均值:引入了动量算符:从而，动量平均值可以表示为:4二、力学量在坐标表象下算符的形式mpT2/222222/ˆˆmmpTprlprprlˆˆˆˆrdrTrT3*)(ˆ)(rdrlrl3*)(ˆ)(2222222zyx动能，动能算符其中：动能平均值：角动量，角动量算符角动量平均值：5三、算符的运算规则（1）如果。对算符常数并且、波函数,ˆ,,2121Acc22112211ˆˆ)(ˆAcAcccAAAˆ,ˆ,若对算符1、线性算符Aˆxipxˆ则称为线性算符，如:2、单位算符AˆIAˆ则称为单位算符，并记为3、算符相等对算符和,若，则称两个算符相等，记为,AˆBˆBAˆˆBAˆˆ6三、算符的运算规则（2）之和与为算符则称如果和对算符BABABABABAˆˆˆˆ,ˆˆ)ˆˆ(,ˆˆ,满足结合律和、＋＋（，若满足交换律和＋若CBACBACBABAABBAˆˆˆ,]ˆ)ˆˆ[()]ˆˆˆ[ˆˆ)ˆˆ()ˆˆ(,4、算符之和5、算符之和的交换律和结合律7三、算符的运算规则（3）之积与为算符则称如果和对BABABABABAˆˆˆˆ),ˆ(ˆ)ˆˆ(,ˆˆ,ABBAˆˆˆˆ6、算符之积一般说来，算符之积不满足交换律，即：由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系8四、算符的对易关系（1）ABBABABAˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[,ˆ,ˆ和xxipxxˆ,.,,,ˆzyxipxxiixxixpx)(ˆixppxxx)ˆˆ(1、对易式简记为：，通常情况：ABBABAˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[0]ˆ,ˆ[BA动量算符在坐标表象中：以为例，坐标表象中，，计算xxxˆ]ˆ,ˆ[xpx2、坐标动量对易关系——最基本对易关系ipxx]ˆ,ˆ[9四、算符的对易关系（2）ipyy]ˆ,ˆ[ipzz]ˆ,ˆ[0)()ˆˆ(yyxixppxyy,0,]ˆ,[iipzyx,,,同理：但是，0],[ypx即：归纳起来，得到：10四、算符的对易关系（3）3、角动量的对易式角动量：，所以角动量算符：prlprlˆˆˆ在坐标表象中：)ˆˆˆ(ˆzeyexeiipzyxzeyexerrzyxˆˆˆˆzzyyxxlelelelˆˆˆˆˆˆˆ)(ˆˆˆyzzyipzpylyzx)(ˆˆˆzxxzipxpzlzxy)(ˆˆˆxyyxipypxlxyzxyz顺时针：正号逆时针：负号11四、算符的对易关系（4）ziylziylxx],ˆ[],ˆ[角动量算符和坐标算符的对易关系0)ˆˆ(],ˆ[),(ˆxxxxlxxlxlyzzyilzizzyzyzzyzzyiyzzyyyyzzyilyylylxxx][])())([()ˆˆ(],ˆ[2212四、算符的对易关系（5）,0],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,0],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,0],ˆ[zlxiylyixlxizlylzixlyizlziylxlyzzyyyxxx同理可得：同样可证明：zyxzxyyxyxpiplpiziizyzyzyzyzyzyyzzyyiyiyzzyilpplplˆ]ˆ,ˆ[ˆ)(][]))(())([()ˆˆˆˆ(]ˆ,ˆ[2222222213四、算符的对易关系（6）yxzxzyzyxzzyyxxlilllilllillllllllˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[令：,称为角动量平方算符，有：2222ˆˆˆˆzyxllll0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[222zyxllllll同理证明：,0]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[zyxyzyxzxzyyyzxyyzxzyxxxplpiplpiplpiplplpiplpiplpiplpl即：14四、算符的对易关系（7）]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[,]ˆ,ˆ[]ˆˆˆˆ[]ˆˆˆˆ[]ˆ,ˆ[ABBAABBAABABBABA]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[CABACBA]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[CABCBACBABCACBACBAˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[0]]ˆ,ˆ[,ˆ[]ˆ,ˆ[,ˆ[]]ˆˆ[,ˆ[BACACBCBA4、对易恒等式同理可得：15五、厄米算符（1）AˆAˆ1ˆA的逆算符称为算符算符AAˆˆ10]ˆ,ˆ[,ˆˆˆˆ111AAIAAAA111ˆˆ)ˆˆ(ABBA1、逆算符已知算符和任意波函数，若存在唯一的，使得，则可将表示为，其中：16五、厄米算符（2）dAdB**ˆˆ若有和,的转置算符。为则称AABˆ~ˆˆdAdA**ˆ~ˆ即，,ˆxipx)~ˆ()ˆ(][ˆ*******xxxpdxpdxxdxixdxixdxipdx的条件注意用到了－所以，0)(,||.ˆ~ˆxxppxxABCBACBA~ˆ~ˆ~ˆ,ˆˆˆ,ˆˆ则设和束缚态条件2、转置算符17五、厄米算符（3）的共轭算符为称AAAˆˆ,ˆ*xxxpxixipxipˆ)(ˆ,ˆ**则如。＝即记为的厄米共轭算符称为的共轭转置算符则**~ˆˆ,ˆ,ˆ~ˆˆ,ˆAAAAAAA*~ˆˆxxpp如ABBABAˆˆ)ˆˆ(,ˆˆ则和3、共轭算符4、厄米共轭18五、厄米算符（4）或自共轭算符。为厄米算符则称若,ˆ,ˆˆ,ˆAAAA就是厄米算符。则若也就是说，AAAAˆ,~ˆˆ,ˆ*等都是厄米算符。可以证明，)(,ˆ,ˆ,xVlpxx,ˆxipx如xxxxppppˆˆ,ˆ~ˆ*已知xxxxxxppppppˆˆ,ˆˆ)ˆ(~ˆ***即所以5、厄米算符19五、厄米算符（5）是实数。所以则，即，若和＋AAAArdrArrdrArrdrArrdrArAAAAArA,])(ˆ)([)(ˆ)()(~ˆ)()(ˆ)(~ˆˆˆˆ)(ˆ***3*3**3**3****ˆ~ˆAdAd6、厄米算符的平均值(1)定理：体系的任何状态下，厄米算符的平均值为实数逆定理：在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符20五、厄米算符（6）**ˆ~ˆAdAd6、厄米算符的平均值(2)为什么等都是厄米算符？因为它们都是实验上的可观察量，因此，它们在任何状态下的平均值都应该是实数，因而，它们应该都是厄米算符。lpxxˆ,ˆ,推论：厄米算符平方的平均值大于等于零*~ˆˆ,ˆˆ),(,ˆAAAArA即若0ˆ)ˆ)(ˆ(ˆ)ˆ()ˆ(~ˆˆˆˆ323*3**3**3*32*2rdArdAArdAArdAArdAArdAA21六、例题(1)axxVaxxV,0,00,)(00VE./20mEk,0nak,3,2,1n0x0)()(2)(02xVEmx0)(x0)(2)(2xEmx(2)e)(xCx/)(20EVm/2mEkax0例1：设势场为证明阱口刚好出现一个束缚态能级（即）的条件为其中，证明：当时，能量本征值方程为:解得:(1))sin()cos()(kxBkxAx当时，能量本征值方程为:由束缚态条件,解得:22ax0)()(2)(02xVEmx0)(x(3))(xDex0VE/2/200mVkmEkCxx)(:0,3,2,1,0nnak0sin,00sincos000000akBakAkDakABkAC六、例题(2)当时，能量本征值方程为:由束缚态条件解得:因为阱口刚好出现一个束缚态，即所以,0/)(20EVm所以Dxax)(:)(x()x0xax根据，在和连续，可知：势阱刚好出现束缚态的条件为：23六、例题(3)zyxpkpjpiipirˆ例2：证明：动量表象当中rdrrrr3*)()(坐标表象中坐标平均值计算公式为：根据傅立叶变换可得：pdrpipr3]exp[)()2(1)(23取复共轭后代入有：r24六、例题(4)prddrrrpipr33*)(]exp[)()2(123prddrrpipip33*)(]exp[))(()2(123pdrdrpirpip33*]exp[)()2(1)()(23pdppip3*)()()()ˆˆˆ(ˆzyxpkpjpiipir25下一讲厄米算符的本征值与本征函数角动量的本征值与本征函数