网络方程

电网络的方程电网络的方程„主要内容电路的方程电路的方程约束网络法稀疏表格法改进节点法状态变量法线性状态方程的解析解线性状态方程的解析解一概述网络方程的分类：（（22）微分）微分——代数方程代数方程（（11））代数方程代数方程电阻电路的方程线性动态电路的变换域方程动态电路的时域方程（（33）微分方程）微分方程动态电路的时域方程网络解变量的选取网络解变量的选取（（22））计算机辅助计算计算机辅助计算（（11））手工计算方程数目少：方程数目少：节点电压、树支电压网孔电流、回路电流状态变量通用性节点电压＋附加电流节点电压＋支路电压＋支路电流独立独立变量变量完备完备且方程适合计算机建立„节点分析法的改进（（11）节点电压为变量建方程）节点电压为变量建方程约束网络法稀疏表格法改进节点法（（22））节点电压节点电压++附加变量为变量建方程附加变量为变量建方程两个方向：两个方向：二二改进节点法（（MNAMNA））„基本思想：节点电压＋附加电流变量1LLIUjLω=••改进节点电压方程改进节点电压方程(MNA(MNA方程方程))由改进节点分析法列写出的以由改进节点分析法列写出的以节点电压节点电压和附加电流附加电流为变量的电路方程的电路方程（（11））流控支路电流（包括流控支路电流（包括电压源电流电压源电流））（（22））受控源的控制电流受控源的控制电流（（33））电感电流电感电流和输出电流和输出电流附加电流附加电流LLUjLIω=()sitLC1G2G0C+−()sut()sIssLsC1G2G2I1I0sC①②+−③()sUsI0CILICI改进节点电压方程零状态零状态ss域模型域模型()sIssLsC1G2G2I1I0sC①②+−③()sUsI0CILICINode1：10LCsIIII++=Node2：00CCIII+−=Node3：20II−=111nIGU=()sIssLsC1G2G2I1I0sC①②+−③()sUsI0CILICI223nIGU=元件方程：电导：2CnIsCU=电容：1nLUsLI=()0012CnnIsCUU=−电压源：电感：23nnsUUU−=KCL方程：10CsLIIII++=00CCIII+−=20II−=111nIGU=223nIGU=元件方程：电导：2CnIsCU=电容：1nLUsLI=()0012CnnIsCUU=−电压源：电感：23nnsUUU−=压控型压控型流控型流控型()10102nnsLGsCUsCUII+−+=()01020nnsCUsCsCUI−+++=230nGUI−=流控型流控型元件方程：10nLUsLI−=电压源电感23nnsUUU−=1001002230000100000110000100101LssnnnsLIGsCsCUsCsCsCUGUIUI+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢−⎥⎢⎥⎣⎣⎦−−⎦⎣⎦改进节点电压矩阵方程的常用形式为1nn⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦DEYJIBUC是把电流作为附加未知量的支路移去后所得子网络的节点导纳矩阵1nYB、C、D分别是电流未知量关系矩阵,B为子关联矩阵1001002230000100000110000100101LssnnnsLIGsCsCUsCsCsCUGUIUI+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢−⎥⎢⎥⎣⎣⎦−−⎦⎣⎦例例建立图示正弦稳态电路相量形式的MNA方程。()sit**1L2LM2C1G2G1C3C+−()sut解解电压源电流、电压源电流、耦合电感电流应选作附加电流()sit**1L2LM2C1G2G2i1i1C3C+−()suti相量模型sI**1jLω2jLωjMω2jCω1G2G2I1I1jCω3jCω①②+−③sUIsI2jCω1G2G2I1I1jCω3jCω①②③I节点电压方程为()1131321sGjCCUjCUIIωω++−+=⎡⎤⎣⎦()3123220jCUjCCUIIωω−++++=230GUI−=sI2jCω1G2G2I1I1jCω3jCωI1112212200UjLIjMIUjMIjLIωωωω−−=−−=耦合电感的附加方程电压源的附加方程23sUUU−=sI**1jLω2jLωjMω2jCω1G2G2I1I1jCω3jCω+−sUI节点电压方程为()1131321sGjCCUjCUIIωω++−+=⎡⎤⎣⎦()3123220jCUjCCUIIωω−++−+=1112212200UjLIjMIUjMIjLIωωωω−−=−−=230GUI+=附加方程23sUUU−=相量形式的改进节点电压方程矩阵形式()()11331s323223s11220010010100010000110001000001000GjCCjCUIjCjCCUGUIUjLjMIjMjLIωωωωωωωω⎡⎤⎡⎤++−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()1131321sGjCCUjCUIIωω++−+=⎡⎤⎣⎦()3123220jCUjCCUIIωω−++−+=1112212200UjLIjMIUjMIjLIωωωω−−=−−=230GUI+=23sUUU−=状态空间分析法主要内容主要内容三状态变量分析状态变量分析¾状态变量分析的基本概念¾状态方程的建立¾线性状态方程的解析方法（1）状态变量分析的基本概念„状态、状态变量、状态方程‹电路的状态：一组最少数据（a）对于某一任意的时刻t0，可以根据t0时刻的状态及t≥t0时的输入波形来唯一地确定t＞t0的任一时刻的状态；（b）根据在t时刻的状态及t时刻的输入(或者输入的导数)能够唯一地确定在t时刻的任一电路变量的值。::电路的状态实质上是指电路的储能状况。状态变量、状态向量和状态空间„状态变量：描述状态的变量动态电路的状态变量是确定动态电路运动行为的最少一组变量。记作x1(t),x2(t),…,xn(t)独立完备变量初始状态:电路在初始时刻t=t0的状态状态向量:n个状态变量x1、x2、…、xn构成的向量x状态空间：以状态向量的各个分量x1、x2、…、xn为轴所构成的n维欧氏空间[]T122xxx=x状态方程‹状态方程=+xAxBuA为系数矩阵，B为控制矩阵()()tt=+xAxBu(,,)t=xfxu()1=++zAzABBu时变网络时变网络(2)(2)非线性网络非线性网络规范化：规范化：1=++xAxBuBu1=+xzBu变换：变换：⇒时变网络时变网络：：时不变网络时不变网络：：(,)=xfxu(1)线性网络线性网络时不变网络时不变网络输出方程„输出方程联系输出与状态变量和输入之间的关系式(1)(1)线性网络线性网络=+yCxDuy为输出向量，x为状态向量,u为输入向量C和D为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵()()tt=+yCxDu(,,)t=yhxu时变网络时变网络(2)(2)非线性网络非线性网络时不变网络时不变网络„规范型状态方程的特征:(1)每个方程式的左端只有一个状态变量对时间的一阶导数;(2)每个方程式右端是激励函数与状态变量的某种函数关系,但不出现对时间的导数项。(,)t+=ExhxDu••半状态描述半状态描述(semi(semi--statedescription)statedescription)EE为奇异矩阵为奇异矩阵DescriptorFormDescriptorForm广义系统（广义系统（DescriptorsystemDescriptorsystem））描述系统（2）网络的复杂度(OrderofComplexity)„定义网络中独立初始条件的数目,即独立完备的状态变量数。„线性时不变网络的复杂度uC(或qC)和iL(或ΨL)选作电路的状态变量。‹‹CC--EE回路回路仅由电容（和电压源）组成的回路仅由电容（和电压源）组成的回路CC--EE回路又称为纯电容回路或全电容回路回路又称为纯电容回路或全电容回路两个术语两个术语C-E回路示例1C2C3C4C1C2C3C+−su‹‹LL--JJ割集割集仅由电感和电流源组成的割集仅由电感和电流源组成的割集1L2Lsi1N2N1N2NLL--JJ割集又称为纯电感割集或全电感割集割集又称为纯电感割集或全电感割集z常态网络对于仅由电阻、电感、电容和独立电源组成的网络,如果不含C-E回路和L-J割集,则称为常态网络z非常态网络(蜕化网络)含有C-E回路和／或L-J割集的网络常态网络的复杂度常态网络的复杂度等于网络中的储能元件的数目等于网络中的储能元件的数目dLCnbb=+独立电容电压CC--EE回路中一个电容电压不独立回路中一个电容电压不独立1C2C3C4C1C2C3C+−su+−2u+−1u+−3u+−4u+−2u+−3u+−1u12340uuuu−−+=123suuuu−−=−独立电感电流CLCLdnnbbn−−+=非常态网络的复杂度非常态网络的复杂度LL--JJ割集中一个电感电流不独立割集中一个电感电流不独立1L2Lsi1N2N1N2N2i1i1i2i3i1230iii++=12siii+=确定C-E回路和L-J割集的拓扑方法(1)用开路方法确定(广义)C-E回路数(2)用短路方法确定(广义)L-J割集数d0nn≤≤••CC--EE回路和回路和LL--JJ割集可通过网络的等效变换消去割集可通过网络的等效变换消去••对于含有受控源和负元件的网络对于含有受控源和负元件的网络复杂度与网络中的元件值有关复杂度与网络中的元件值有关（3）状态方程的建立„状态方程的建立方法由信号流图(或系统框图)编写由转移函数编写由输入－输出方程编写间接编写法网络拓扑法系统列写法直观列写法直接编写法z线性动态电路状态方程的直观列写法列写步骤列写步骤：：((1)1)选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为预选预选状态变量状态变量；；(2)(2)对每个独立的电容，选用一个割集，并依据对每个独立的电容，选用一个割集，并依据KCLKCL和电容的和电容的VARVAR列写节点方程列写节点方程；；(3)(3)将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，然后变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理成整理成标准形标准形。。对每个独立的电感，选用一个回路，并依据对每个独立的电感，选用一个回路，并依据KVLKVL和电感的和电感的VARVAR列写回路方程列写回路方程；；例1列写如图所示电路的状态方程。21iidtduCC+=解解对接有电容对接有电容CC的的节点节点aa列写节点方程，得列写节点方程，得－＋absusiC2L1LR－＋Cu1i2i选电容电压选电容电压uuCC和电感电流和电感电流ii11、、ii22为状态变量为状态变量11CsdiLuudt=−+221CsdiLuuudt=−++对含有对含有LL11的回路的回路CC--LL11--uuSS和含有和含有LL22的回路的回路CC--LL22--RR--uuSS分别列写回路方程分别列写回路方程－＋1u－＋absusiC2L1LR－＋Cu1i2i12()suRii=+222CssdiLuiRiudt=−+++对上述方程进行整理并写成矩阵形式11112222221100011000110CCssdudtCCuudiiidtLLidiRRdtLLLL⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（4）线性状态方程的解析方法„分类1：数值解法解析解法一、线性状态方程的时域解法一、线性状态方程的时域解法‰‰分类分