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--------图图解解线线性性代代数数--------线线线性性性代代代数数数的的的几几几何何何意意意义义义之之之（（（333）））任任广广千千胡胡翠翠芳芳编编著著-22-11-1yx022001100..0066..0011《线性代数的几何意义》=================================================================================第2页，共2页几几何何意意义义名名言言录录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。-------笛卡尔算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。--------希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”--------拉格朗日不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。--------柏拉图无论是从事数学教学或研究,我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明,只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了,我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治第三章行列式的几何意义在中国古代，用筹算表示联立一次方程未知量的系数时，就有了行列式的萌芽-----排列的方式。日本吸收了这种思想，在1683年，日本学者关孝和（SekiTakakusu）对行列式的概念和它的展开已有了清楚的叙述。到18世纪，瑞士数学家克莱姆（G.Gramer）和法国数学家拉普拉斯（P.S.Laplace）建立了行列式理论。行列式的几何意义具有深刻的含义。它是指行列式的行向量或列向量所构成的平行多面体的有向体积。这个有向体积是由许多块更小的有向面积或有向体积的累加。在我们逐步地讨论这个几何意义之前，先来回顾一下行列式的定义。3.1.行列式的定义行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。行列式分阶，比如二阶行列式、三阶行列式直至n阶行列式。下面我们罗列了各阶行列式的定义（以拉普拉斯展开定理的形式给出了定义，这样可以使各阶行列式看起来有规律），以方便后面的论述：z一阶行列式：11aa=一阶行列式就等于元素a自己。各位看官注意啊，a值可正可负，行列式两条竖线的记号不要当成绝对值的符号。11z二阶行列式12122112212aaababababbb=⋅−⋅=−1这个结果是不是很面熟？有点像三维向量叉积的第三个元素。你看，。注意叉积是和有向面积联系在一起的。123123233231131221(,,)(,,)(,,)aaabbbabababababab×=×=−−−abz三阶行列式123231312123123231312123aaabbbbbbbbbaaaccccccccc=⋅−⋅+⋅123231312132213321abcabcabcabcabcabc=++−−−《线性代数的几何意义》三阶行列式的计算比较常用，务必记住上式。上式帮助记忆之经典的展开运算法是对角线法，这个大家都知道，不再多讲。但为使对角线法看起来更有规律，这里稍稍改变了一下，图如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3a1a2a3b1b2b3c1c2c3把行列式的元素依序排在圆柱体的外圆上，沿右下方向的乘积顺序得到正符号（左图），沿左下方向的乘积顺序得到负符号（右图）。如果把圆柱体拓扑变形为圆锥体，它的顶视图如下，运算顺序很有规律和美感，如下：=================================================================================第2页，共32页---+++c3b3a3b1a1c1a2b2c2图中，行向量沿圆的逆时针方向排列元素，列向量沿原的半径方向排列。乘积项的元素分布在各个半圆弧上。z四阶行列式1112131422232421232421222321222421222324113233341231333413313234143132333132333442434441434441424441424341424344aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=⋅−⋅+⋅−⋅a11223344112234431123344211233244112432431124334212213344122134431223344112233144122431431224334113213244132134421322344113aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=+−+−+−−+−+−++−+−2231441324314213243241142132431421334214223341142231431423314214233241aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+−−+−+−+《线性代数的几何意义》可惜，在四阶以上的行列式中，没有了以上三阶行列式的特有美感的运算图解。这说明行列式的几何本质远没有如三阶行列式的图解一样简单。再者，手算四阶行列式很是恐怖，在MATLAB横行的年代也没此必要。把四阶行列式的展开算式罗列在此，只是给诸位一个感性认识。zN阶行列式1112131222322123221222121222321111212313123..........................................................(1)....................................nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaan−+=⋅−⋅++−⋅121212112(...)..................(1)....nnnnnntjjnjjjjaaaaaa−=−∑式中，12...njjj是1的一个排列，,2,...n12(...)njjj∑表示对12...njjj取遍1的一切,2,...n12(...n)jjj排列求和，为排列t12...njjj的逆序数。N阶的行列式的展开有个乘积项，这些乘积项具有统一的表达式，因而具有统一的规律。通过观察以上各阶行列式的定义式，我们至少看到有两个小规律。一个规律是n阶行列式可以化为更低一阶的n-1阶行列式的和，这将会帮助我们简化行列式的计算。另一个规律是n阶行列式实际上是不同行不同列的n个元素的乘积项的代数和（和或差，每项符号由置换的逆序数的奇偶性决定）。在前面的向量一章中，我们介绍了向量的张量积，现在看来，行列式实际上是n个行向量的张量积中的部分结果。这个部分项的和具有独立的代数及几何意义，因而在线性代数中占有一席之地。!n行列式的几何意义是什么呢？概括说来有两个解释：一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；另一个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念。但具有相同的几何本质，因为矩阵A表示的（矩阵向量所构成的）几何图形相对于单位矩阵E的所表示的单位面积或体积（即正方形或正方体或超立方体的容积等于1）的几何图形而言，伸缩因子本身就是矩阵矩阵A表示的几何图形的面积或体积，也就是矩阵A的行列式。一个2×2矩阵A的行列式，是A的行向量（或列向量）决定的平行四边形的有向面积。用几何观点来看，二阶行列式1212a,aD,bb=是xoy平面上以行向量()12aa=a，()12bb=b为邻边的平行四边形的有向面积：若这个平行四边形是由向量沿逆时针方向转到b而得到的，面积取正值；若这个平行四边形是由向量a沿顺时针方向转到而得到的，面积取负值；若与张成的平行四边形的有向面积符号相同，称他们有相同定向。所以平面上平行四边形有两种定向。aba,b''a,b类似地，三阶行列式的值就是它的三个向量在Oxyz空间上张成的平行六面体的有向体积。这里空间平行六面体也有两种定向：当构成右手系时，体积正值；当构成左手系时，体积,a,bc,a,bc=================================================================================第3页，共32页《线性代数的几何意义》取负值。这同时启发我们可以把n阶行列式定义为n个n维平行多面体的有向容积。关于伸缩因子的几何解释，需要引入矩阵的概念。行列式被看作对矩阵的某种运算，并反映了矩阵的特定性质。实际上也是这样。假设A是一个列向量（或行向量）为的2×2矩阵。那么，这里的线性变换A是指将,ab2R中的单位正方形变成2R中以为邻边的平行四边形；如果原图形为一个园，则线性变换A将之变成一个椭圆。,ab同样，在3×3的情形下，A将3R中的一个单位立方体映射成3R中由A的列向量确定的平行六面体；如果原图形为一个球，则线性变换A将之变成一个椭球。一般地，一个n×n矩阵A将nR中的单位n立方体变成nR中由A列向量确定的n维平行体。对非单位正方形(立方体或超立方体)以同样的方式变换，即伸缩因子为原域的容积像域的容积而n×n矩阵A的行列式detA就是这个伸缩因子。下面我们主要从向量及其张成的面积和体积的几何图像的角度分别就二阶和三阶行列式给出其几何意义，为了较深入的理解其几何含义，我们逐个地解释了行列式的主要性质。（从矩阵的线性变换的角度讲解行列式的伸缩因子的几何意义的内容放在了矩阵一章“矩阵的行列式”一节里面）。3.2.二阶行列式的几何意义二阶行列式的几何意义顺便先把一阶行列式的意义说一下。一阶行列式1aa=1。意思就是的一阶行列式就是数或者讲是向量的本身，这个数的本身是一维坐标轴上的有向长度。这里我强调的是有向的，长度是有向的，是个向量，这一直是个很重要的概念。1a1a1a1a0a1再回来，我们继续讨论二阶行列式。=================================================================================第4页，共32页《线性代数的几何意义》二阶行列式1212a,aD,bb=的几何意义是xoy平面上以行向量()12aa=a，(12)bb=b为邻边的平行四边形的有向面积。为什么？其实，我们可以推导出来这个几何意义的：我们来考察这个平行四边形与构成它的两个向量之间的关系。S(a,b)βαbayx0a1a2b2b1我们在二维几何空间2R中取定一个直角坐标系[]120;;ee，设，，则以为边的平行四边形的面积为：1122aa=+aee1122bb=+bee,ab(SabSin=〈〉a,b)a,b这里：2212aaa=+，2212bbb=+，Sin〈〉a,b为向量之间的夹角正弦。,ab()SinSinSinCosCosSinαβαβα〈〉=−=−a,bβ，参照图中的关系把三角式用坐标值表示出来：则21121221,babaababSinbabaab−〈〉=⋅−⋅=ab把上式整理得：。1221,abSinabab〈〉=−ab又12122112,,aaababbb=−=================================================================================第5页，共32页《线性代数的几何意义》因此()1212,,aaSbb=a,b至此可以得到，二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的面积。另外，两个向量的