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------图图解解线线性性代代数数------线线线性性性代代代数数数的的的几几几何何何意意意义义义之之之（（（222）））任任广广千千胡胡翠翠芳芳编编著著-22-11-1yx022001100..0044..2255几几何何意意义义名名言言录录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。-------笛卡尔算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。--------希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”--------拉格朗日不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。--------柏拉图无论是从事数学教学或研究，我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治《线性代数的几何意义》第二章向量的基本几何意义向量的概念始终贯穿当代科学的主要内容中，也始终贯穿线性代数的主要内容中，所以我们不妨回顾回顾这个概念的几何意义，以期更清晰地理解线性代数的几何本质。2.1向量概念的几何意义自由向量的概念向量（Vector）和标量的概念是发明四元数的爱尔兰数学家W。R。哈密尔顿给出的。向量是一个既有大小又有方向的量，这个量本身就是个几何的概念。我们常常把它与标量（只有大小的量）相区别。抓住向量的大小和方向这两个特征，一般用一个有向线段来表示一个向量(显然，向量本身就是一个几何图形)，记为ABuuur或者α。如下图：=================================================================================第2页，共38页BA在物理学中，也把向量叫矢量，矢就是箭，向量如一根箭一样有头部和尾部，箭在空间自由的飞行中箭杆的长度不会变，这一点与向量相同；但箭在重力的作用下会改变方向，但一个确定的向量不允许改变方向，一个向量改变了方向就变成了另外一个向量了。所以向量的“飞行”称为平移，这种在一条直线上平移的向量称为自由向量（物理学中常称为滑动向量）。0沿着直线飞行的箭簇在每一时刻所表示的无数向量归属于同一个向量，这些无数的向量实际上是平行的向量。另外还有不在一条直线上的平行而相等的向量，如下的例子：考察一个刚体的平行移动。当刚体从一个位置平行移动到另一个位置时（比如说这个刚体是麦吉小姐过河坐的小船，小船从河流的一边驶向对岸），刚体上各质点在同一时间段内有相同的位移，各点所画出的位移向量a有相同的大小和方向，他们每一个都反映了刚体位移的情况，因此刚体的平移运动可以用这些向量中的任一个来表示。基于这样的原因，凡是两个向量大小相等、方向相同的，我们就说这两个向量是相等的。因此，一个向量在保持长度和方向不变的条件下可以自由平移。如有必要，也可以将几个向量平移到同一个出发点或者坐标原点。《线性代数的几何意义》a水流速度向量船速向量aaa从上面的例子，我们感悟到自由向量为何可以是自由的。实际上，就是因为向量没有确定的位置，它们不依赖于任何坐标系而存在。因此从逻辑上看，无数的向量可能有相同的表述，所有的这些向量都互相平行，相等，并具有相同的量值和方向。向量的数学表示向量的数学表示一般是用小写的黑体字母a、b、c等表示。当手写时因为黑体的粗笔画书写不方便，因此常在字母上面加上箭头来与其它字母区别，如ar、br、cr。以上的表示不便计算，如何对向量象数字一样进行运算呢？因为在数学学科中，向量被处理为自由向量，为了与解析技术所用的坐标联系起来，我们把空间中所有的向量的尾部都拉到坐标原点，这样N维点空间可以与N维向量空间建立一一对应关系：N维点空间中点(0，0，0…0)取作原点，那么每一个点都可以让一个向量和它对应，这个向量就是从坐标原点出发到这个点为止的向量。注：向量被看作线性空间或向量空间中的一个元素。但向量与点不同，向量表示的是两点之间的位移而不是空间中的物理位置；向量还可以确定方向，而一个点就不能。其实，一旦我们确定好一个坐标系，一个向量就与一个点相对应，而点用所谓坐标的有序数组表示的，因此我们就也可以把向量用有序数组表示。有了有序数组就可以运算了。使用有序数组或者解析式表述的向量是把以原点为起点的向量末端的坐标值表示，并把坐标值用圆括号括起来，如(,,)xyz=v。在这里这个有序数组(,,)xyz称之为向量。在二维平面上，由原点引出的向量用两个有序实数表示；在三维空间中，由三个有序数表示三维向量。那么n维向量就可以由以上二维和三维向量的定义推广得到。虽然n维向量的几何意义难以想象，但其现实意义我们还是可以把握的。比如，在三维空间中，我们只要知道一个球的球心位置和半径的大小就可以确定这个球面。把球心坐标和半径值写成有序数组，我们就得到了一个四维向量。=================================================================================第3页，共38页《线性代数的几何意义》一个向量可以被分解为三个单位坐标向量的线性表示（实际上这个概念很重要，在今后的向量的运算和矩阵运算理解中起着关键作用）。例如向量(分解如下：1,1,1)=================================================================================第4页，共38页+(1,1,1)(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)=++=+ijk如下图，把单位坐标向量,,ijk分别首尾连接相加，就得到了的图像。(1,1,1)1.510.5-0.51yjxkzijk0那么，任意一个向量(,,)xyz=v就可以表示为(,,)xyzxyz==++vijk，即单位坐标向量的线性表示。显然，分别对单位坐标向量进行缩放,,xyz倍然后相加，就得到了这个向量(,,)xyz的图像。和上图相似，我们就可以得到了如下的任意一个向量的分解图像。321-1-2-224yjxixkzijkyjzkyj(x,y,z)0zk向量的运算有加法、减法和乘法，乘法有三种，但没有除法。下面我们分别介绍这些运算的细节。《线性代数的几何意义》=================================================================================第5页，共38页2.2向量的加法的几何及物理意义设两个向量a和b，它们的二维分量解析式为(,)xyaaa=，(,)xybbb=；三维分量的解析表达式为(,,)xyzaaaa=，(,,)xyzbbbb=。则我们定义这两个向量的加法为(,)xxyyabab+++ab=，或者(,,)xxyyzzababab++++ab=。向量加法的定义看起来很简单，就是两个向量的各分量分别对应相加形成了和向量的分量。那么的几何意义是什么呢？请看下面二维向量的图解。=+cababcyCxoABbyaybaxx这个图形可以这样解读，表示向量b的分量的矩形被放到表示向量a的分量的矩形上面，a向量矩形的尾端A连接上b向量分量矩形的头端A。叠加后矩形的顶端C就是和向量的尾端。连接BC，AC后，就是平行四边形的法则的几何解释。当然，如果把向量b平移（平行移动）到AC的位置，与向量a的尾部相接，就是三角形的法则。《线性代数的几何意义》abcb'yxCBAobybxaxay向量的所谓三角形或平行四边形法则不是人们凭空想当然的数学规定，而是从物理世界中抽象出来的向量运算法则。比如我们前面提到的船只过河的例子，船头指向的方向是船的马力驱动得到的位移为MotorS（不考虑水流影响），水流的方向是水的冲击力对船造成的位移（不考虑船的马力影响），那么，实际情况是船的真正位移是一条斜线，这条斜线就是WaterSBoatSMotorS和的合成。它们的合成关系就是平行四边形的关系。WaterS如果水的流速和船的马力不变，其中三个时刻（任意）的位移的合成图图下：8642510VMotorVWater0S3boatS2waterS2motorS1motorS3waterS3motorS1waterS2boatS1boat如如果水的流速不变，但在第二时刻和第三时刻船的马力逐步变大，那么三个时刻（任意）的位移的合成图图下：=================================================================================第6页，共38页《线性代数的几何意义》6425100S1boatS2boatS3boatS2waterS2motorS1motorS3waterS3motorS1water两个向量的加法叫做三角形法或者平行四边形法，那么多个向量的加法同样也满足这些法则，并可以由三角形法则得到多个向量的多边形法则。下边我们画出多个向量的加法和减法的图例。b=================================================================================第7页，共38页acda+b+c+doabcda+b+c+da+ba+b+co上图左是把a，b，c，d四个向量按照三角形法则相加的图例，在图中，我们把a，b，c，d四个向量依次首尾相接，直到画完所有向量，昀后只是把第一个向量的尾部o指向昀后一个向量的首部P画出的向量就是4个向量的和。这个画法可以称作多向量的多边形加法法则。多边形法则很容易从三角形法则推导出来，上图右中虚线向量即是应用三角形的向量法则画出《线性代数的几何意义》了中间向量逐次相加的结果，昀后推出了左图的多边形法则。多变形法则体现在船只过河的例子就是把船的每时刻的位移进行合成，就得到如下图所示：8642510Sboat0S1boatS2boatS3boatS2waterS2motorS1motorS3waterS3motorS1water多向量加法的数学本质，实际上是这些向量在坐标轴上（以0点为坐标原点的坐标系）的投影（或坐标分量）的合成（相加或相减）后的结果。向量的更高一级的运算如点积、叉积的定义也是这个数学本质的体现。关于减法，实际上是加法的特殊形式，是加法的逆运算。向量减法，我们可以用定义加法的方式定义减法，例如定义，只要把被减向量b反向后再与向量a相加即可。实际上在平行四边形法则中，和向量和差向量构成平行四边形的两个对角线。(=−=+−cabab)abcc'CBAoaa+b+c+dbcda-b-c-do三维向量的加法。=================================================================================第8页，共38页《线性代数的几何意义》2.3向量的内积的几何和物理意义向量的内积的几何解释向量的内积也叫数量积、标积、点积（点积的名称来自于内积的计算符号）等，都是一个意思，就是内积的结果是个数量或者标量。内积的定义有两个，下面我们把它们列举出来并探讨一下它们的关系。ba⋅cosabθ⋅=ab……………………。。1xxyyzababab⋅=++abz…………。2公式1是说，向量a和b的长度之积再乘以它们之间的夹角的余弦；公式2的意思是向量a和b的坐标分量分别对应乘积的和。定义内积有很多好处，除了物理上的直接应用外，至少我们可以应用这个定义（公式2）去计算一个向量的长度（在已知它的坐标时）。比如我们求向量a的长度：222xxyyzzxyaaaaaaaaaa=⋅=++=++aaz。这两个公式有关系吗？当然有：假设我们选一个这样的坐标系，x轴沿向量a的方向，那么xa=，，则公式a0yzaa==xxyyzzababab⋅=++ab=xab，xab就是a的长度乘以b