韩山师范学院2013年期末拓扑试题(考查)

1韩山师范学院2012-2013年度第二学期试题（考查）考试日期专业、班级科目学生姓名学号评卷人数学与应用数学点集拓扑题号一二三四五六七总分得分一、写出X={0,1,2}的一个拓扑，使得它是T0但不是T1的。（10分）二、设X={0,1,2,3}，}}3,1,0{},3,0{},1,0{},0{,,{XT，A={0,2}，请写出A在拓扑空间（X，T）中的边界点，内点，外点，聚点。（12分）2三、已知,a,,bRba且把开区间（a,b）看为欧氏空间1E的子空间，请构造出一个同胚映射1,:Ebah.（12分）（提示：先考虑构造（-2,2）到1E的同胚，再构造ba,到（-2,2）的同胚，复合即可）四、请证明分离性3T，紧性，连通性都是拓扑性质，并回答闭区间（作为欧氏空间的子空间）上连续函数的有界性，最值性和介值性分别是由闭区间的哪种拓扑性质决定的.（提示：P是一个拓扑性质，指的是若空间X具备性质P而h：XY是同胚，则Y也必具备性质P）（30分）3五、设(0,1),[0,1),[0,1]都是欧氏空间1E的子空间,2是欧氏空间2E的子空间，证明以上四个空间两两不同胚.（15分）（提示：证明两个空间不同胚，常考虑证明一个空间具备某种拓扑性质而另一个不具备）4六、RRRd22:定义如下，对任意22211),(),,(Ryxyx，|}||,max{|),(),,(21212211yyxxyxyxd，证明d是一个度量.（10分）七、把中国汉字看成欧氏空间2E的子空间，请写出三个只有三笔的汉字使得它们都同胚，写出两个四笔以上的汉字使它们同胚.（11分）