点集拓扑学期末复习材料

第五章有关可数性的公理①几种可数性的关系定理5.1.3每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。证明：设X是一个满足第二可数性公理的空间，Β是它的一个可数基。对于每一个x∈X，根据定理2.6.7，xB={B∈B|x∈B}是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族．于是X在点x处有可数邻域基xB．定理5.2.2每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．证明：设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个非空元素B中任意取定一个点BxB.令D=BxB|B|B这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集．定理5.3.l（Lindelöff定理）任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindelöff空间．②可数性的定义定义5.1.1一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为2A空间。定义5.1.2一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为1A空间。定义5.2.1设X是一个拓扑空间，XD．如果XD，则称D是X的一个稠密子集．定义5.2.2设X是一个拓扑空间，如果X中有一个可数的稠密子集，则称X是一个可分空间．定义5.3.1设A是一个集族，B是一个集合．如果BAA则称集族A是集合B的一个覆并且当A是可数族或有限族时，分别称集族A是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族A1也是集合B的覆盖，则称集族A1是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖．设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．定义5.3.2设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindelöff空间．③可数性与序列定理5.1.8设X是一个拓扑空间．如果在x∈X处有一个可数邻域基，则在点x处有一个可数邻域基ZiiU使得对于任何Zi有1iiUU，即.........21iUUU定理5.1.9设X是一个满足第一可数性公理的空间，XA.则点x∈X是集合A的一个凝聚点的充分必要条件是在集合A－{x}中有一个序列收敛于x．④性质Ⅰ.拓扑不变性定理5.1.4设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个满的连续开映射．如果X满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则y也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．Ⅱ.遗传性定理5.1.5满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间．定理5.3.4Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间。可分空间的任意开子空间是可分的。Ⅲ.有限可积性除Lindeloff空间外⑤特殊空间度量空间：1AR、nR：2A、1A、可分、Lindeloff离散空间：当X是可数集：2A、1A、可分、Lindeloff当X是不可数集：1A、非2A、非可分、非Lindeloff可数补空间：当X是可数集：2A当X是不可数集：Lindeloff、非可分、非1A（例5.1.1）、非2A第六章分离性公理度量空间空间空间空间空间3.5T4T3T2T1T1T1T空间1T空间0T正规空间完全正则空间正则正则空间正规Lindeloff①几种分离性的关系定理6.4.2每一个正则且正规的空间都是完全正则空间.由于x∈A，故f（x）=0，这就证明了X是一个完全正则空间．证明设X是一个既正则又正规的空间．设x∈X，B是X中的一个不包含点x的闭集．/BU由于X是一个正则空间，根据定理6.2.l，点x有一个开邻域U使得．UA令则A和B是X中无交的两个闭集．由于X是一个正规空间，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X→[0，l]使得对于任何y∈A有f（y）＝0和对于任何y∈B有f（y）＝1．定理6.4.1每一个完全正则空间都是正则空间.证明:对于任意x和不包含x的闭集B,由于X是一个完全正则空间,故对x和闭集B存在一个连续映射，使得对于x和不包含x的闭集B有及任意有.根据定理6．4．1明显可见，每一个Tychonoff空间都是T3空间．根据Urysohn引理也容易看出，每一个T4空间都是Tychonoff空间，但反之不真。:[0,1]fX()0fxyB()1fy②分离性的定义及其等价定义X中每一个单点集都是闭集；X中每一个有限子集都是闭集．拓扑空间X是正则空间如果Xx及闭集XA，且Ax，则存在开领域xUU，开领域AUV，使得VU。如果Xx及开领域xUU，开领域xUV，使得UV。拓扑空间X是正规空间如果闭集XBA,，且BA，则存在AUU，BUV，使得VU.如果XA及开领域AUU，开领域BUV，使得UV。0XT为空间,,,,,,.xyxyXxyUUyUVUxV则或者使得或者使得,,,{}{}xyXxyxy则1XT为空间,,,,.xxyXxyUUyU则使得2XT为空间,,,,,xyxyXxyUUVUUV则使得正则的1T空间称为空3T间，正规的1T空间称为4T空间．[Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．设X是一个拓扑空间．如果对于任意x∈X和X中任何一个不含点x的闭集B,存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)＝0以及对于任何y∈B有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间．完全正则的1T空间称为Tychonoff空间，或5.3T空间．③性质（了解）拓扑不变性T0T1T2T3T3.5T4正则正规所有的分离性都不具有可商性。可积性T0T1T2T3T3.5正则可遗传性T0T1T2T3T3.5正则对闭子空间可遗传性T4正规④特殊空间度量空间：4T有限补空间：1T当X为有限集：4T当X为无限集：是1T非2T平庸空间：当X为不少于两个点：非0T当X为单点集：4T⑤分离性与序列、聚点定理6.1.3设X是一个1T空间．则点x∈X是X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点,即U∩A是一个无限集．定理6.1.4设X是一个1T空间．则X中的一个由有限个点构成的序列{ix}（即集合{ix|i∈Z+}是一个有限集）收敛于点x∈X当且仅当存在N＞0使得ix=x对于任何i≥N成立．定理6.1.5Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．⑥可度量化空间定理6.6.3设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：（1）X是一个满足第二可数性公理的空间；（2）X同胚于Hilbert空间H的某一个子空间；（3）X是一个可分的可度量化空间．第七章紧致性一、紧致空间1、判定①利用定义定义7.1.1设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间．定义7.1.2设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集．②利用Th7.1.1定理7.1.1设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．③利用闭遗传（Th7.1.5）定理7.1.5紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．2、性质①拓扑不变性定理7.1.4设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是X的一个紧致子集，则f（A）是Y的一个紧致子集．②有限可积性③闭遗传定理7.1.5紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．证明：设Y是紧致空间X中的一个闭子集．如果A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则B=A}{'Y是X的一个开覆盖．设B1是B的一个有限子族并且覆盖X．则B1-}{'Y便是A的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集．3、特殊空间的紧致性二、紧致性与分离性1、2T空间中的紧致性紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集2、在紧致空间中的分离性注：①定理7.2.1设X是一个Hausdorff空间．如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V=.定理7.2.5设X是一个Hausdorff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V=.定理7.2.7设X是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得UV.②定理7.2.8从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．证明:设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的.（参见定理7.1.5）因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集.这证明f是一个闭映射．3、几种紧致性的关系四、度量空间中的紧致性五、局部紧致空间与仿紧致空间DXDX定义5.2.1设X是一个拓扑空间，