线面垂直及面面垂直典型例题

.WORD完美格式..专业知识编辑整理.线面垂直与面面垂直基础要点1、若直线a与平面,所成的角相等，则平面与的位置关系是（B）A、//B、不一定平行于C、不平行于D、以上结论都不正确2、在斜三棱柱111ABCABC,90BAC,又1BCAC,过1C作1CH⊥底面ABC，垂足为H，则H一定在（B）A、直线AC上B、直线AB上C、直线BC上D、△ABC的内部3、如图示，平面⊥平面，,,ABAB与两平面,所成的角分别为4和6，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为,AB，则:ABAB（A）A、2:1B、3:1C、3:2D、4:34、如图示，直三棱柱11ABBDCC中，190,4ABBAB,12,1BCCCDC上有一动点P，则△1APC周长的最小值是5.已知长方体1111DCBAABCD中，21ABAA,若棱AB上存在点P，使得PCPD1,则棱AD长的取值范围是。题型一：直线、平面垂直的应用1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知,685PAACPABCDF，，.求证：(1)PADEF平面错误!未找到引用源。；(2)BDEABC平面平面错误!未找到引用源。.线面垂直线线垂直面面垂直B`A`BAABCD1B1CB1C1D1A1DCBA.WORD完美格式..专业知识编辑整理.证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝12PA＝3，EF＝12BC＝4.又因DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE丄EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.2.(2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直于底面，ABBC，12AAAC，E、F分别为11AC、BC的中点.（1）求证：平面ABE平面11BBCC；（2）求证：1//CF平面ABE.证明：（1）在三棱柱111ABCABC中，11,,BBABCBBAB底面11,,ABBCABBBCC平面,ABABE平面11ABEBBCC平面平面.(2)取AB的中点G，连接EG，FGE、F分别为11AC、BC的中点,1,2FGACFGAC,111111ACACACACFGECFGEC，，，,则四边形1FGEC为平行四边形，111,,,CFEGEGABECFABECFABE平面平面平面.3．如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC．求证ACBC．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC内作PCAD，交PC于D．因为平面PAC平面PBC于PC，.WORD完美格式..专业知识编辑整理.AD平面PAC，且PCAD，所以PBCAD平面．又因为BC平面PBC，于是有BCAD①．另外PA平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA．由①②及APAAD，可知BC平面PAC．因为AC平面PAC，所以ACBC．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．4.过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，90BSC，60ASBASC，若截取aSCSBSA(1)求证：平面ABC平面BSC；(2)求S到平面ABC的距离．分析：要证明平面ABC平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明：∵aSCSBSA，又60ASBASC，∴ASB和ASC都是等边三角形，∴aACAB，取BC的中点H，连结AH，∴BCAH．在BSCRt中，aCSBS，∴BCSH，aBC2，∴2)22(222222aaaCHACAH，∴222aSH．在SHA中，∴222aAH，222aSH，22aSA，∴222HASHSA，∴SHAH，∴AH平面SBC．∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．或：∵ABACSA，∴顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心，又BSC为Rt，∴H在斜边BC上，又BSC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点，∴AH平面BSC．∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．(2)解：由前所证：AHSH，BCSH，∴SH平面ABC，∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，aBCSH222，.WORD完美格式..专业知识编辑整理.∴点S到平面ABC的距离为a22．5、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB,AG⊥SD6.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为32的菱形，60ADC，M是PB中点。(1)求证：PACD(2)求证：平面PAB平面CDM7.在多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE面ABC，AE//CD。(1)求证：AE//平面BCD；(2)求证：平面BED平面BCD题型二、空间角的问题1.如图示，在正四棱柱1111ABCDABCD中，DCBASGEFMDCBAPEDCBAC1A1DBCB1GFAED1.WORD完美格式..专业知识编辑整理.11,31ABBB，E为1BB上使11BE的点，平面1AEC交1DD于F，交11AD的延长线于G，求：（1）异面直线AD与1CG所成的角的大小（2）二面角11ACGA的正弦值2.如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大小为30，求二面角MN的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．解：在射线AP上取一点B，作BH于H，连结AH，则BAH为射线AP与平面所成的角，30BAH．再作MNBQ，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，MNHQ，BQH为二面角MN的平面角．设aBQ，在BAQRt中，aABBAMBQA2,45,90,在Rt△BHQ中，,22,,90aBHaBQBHQ2222sinaaBQBHBQH,.WORD完美格式..专业知识编辑整理.BQH是锐角，45BQH,即二面角MN等于45．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．3.正方体1111DCBAABCD的棱长为1，P是AD的中点．求二面角PBDA1的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面1AD，1BD在平面1AD上的射影就是1AD．再过P作1AD的垂线PF，则PF面1ABD，过F作BD1的垂线FE，PEF即为所求二面角的平面角了．解：过P作1BD及1AD的垂线，垂足分别是E、F，连结EF．∵AB面1AD，PF面1AD，∴PFAB，又1ADPF，∴PF面1ABD．又∵1BDPE，∴1BDEF，∴PEF为所求二面角的平面角．∵DADRt1∽PFA，∴11ADAPDDPF．而21AP，11DD，21AD，∴42PF．在1PBD中，251PBPD．∵1BDPE，∴2321BDBE．在PEBRt中，2222BEPBPE，在PEFRt中，21sinPEPFPEF，∴30PEF．4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC的中点，CBADPEMN.WORD完美格式..专业知识编辑整理.（１）求证：MN∥平面PAD（２）若二面角P－DC－A为4，求证:平面MND⊥平面PDC5.已知正方体中1111ABCDABCD，E为棱1CC上的动点，（1）求证：1AE⊥BD(2)当E恰为棱1CC的中点时，求证：平面1ABD⊥平面EBD（3）在棱1CC上是否存在一个点E，可以使二面角1ABDE的大小为45？如果存在，试确定E在棱1CC上的位置；如果不存在，请说明理由。题型三、探索性、开放型问题1.如图，已知正方形ABCD的边长为2，中心为O。设PA平面ABCD，EC//PA,且PA=2。问当CE为多少时，PO平面BED。2.已知△ABC中，90,1BCDBCCD,AB⊥平面BCD，60ADB,E、F分别是AC、AD上的动点，且(01)AEAFACAD（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC（2）当为何值时，平面BEF⊥平面ACD?山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页，桃花面，杏花眼，柳腰春细；夏阳读一页，蔷花满架，木槿锦绣、合欢幽香、蜀葵闲澹，一派峥嵘；秋风传一页，海棠妆欢，野菊淡姿，高远深邃；冬雪润一页，水仙临水一舞，腊梅素心磬口，向爱唱晚。EOBCDAP