高中数学选修2-3第二章章节总结

1高中数学选修2-3第二章总结一、知识梳理1.条件概率与事件的独立性（1）条件概率:一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率，记为P(A︱B).一般地，若P（B）0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是)()()(BPABPBAP)()()(BPBAPABP（2）事件的独立性:设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件奎屯王新敞新疆若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立奎屯王新敞新疆相互独立事件同时发生的概率：()()()PABPAPB两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积奎屯王新敞新疆一般地，如果事件12,,,nAAA相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()nnPAAAPAPAPA（3）独立重复性:独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验奎屯王新敞新疆独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(．它是(1)nPP展开式的第1k项奎屯王新敞新疆离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn由于knkknqpC恰好是二项展开式011100)(qpCqpCqpCqpCpqnnnknkknnnnnn中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．2.离散型随机变量（1）离散型随机变量:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X,Y，，，…表示．在此基础之上所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.（2）离散型随机变量分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为()iiPxp，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量的概率分布，简称分布列奎屯王新敞新疆离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0AP，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；2⑵P1+P2+…=1．对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和奎屯王新敞新疆即)()()(1kkkxPxPxP奎屯王新敞新疆（3）离散型随机变量的数学期望与方差:均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称E11px22px…nnpx…为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平奎屯王新敞新疆平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令1p2p…np，则有1p2p…npn1，E1(x2x…nxn1)，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值奎屯王新敞新疆均值或期望的一个性质:若ba(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为ξx1x2…xn…ηbax1bax2…baxn…Pp1p2…pn…于是E11)(pbax22)(pbax…nnpbax)(…＝11(pxa22px…nnpx…)1(pb2p…np…)＝baE，由此，我们得到了期望的一个性质:baEbaE)(若ξB（n,p），则Eξ=np证明如下：∵knkknknkknqpCppCkP)1()(，∴E0×nnqpC00＋1×111nnqpC＋2×222nnqpC＋…＋k×knkknqpC＋…＋n×0qpCnnn．又∵11)]!1()1[()!1()!1()!(!!knknnCknknnknknkkC，∴E(np0011nnCpq＋2111nnqpC＋…＋)1()1(111knkknqpC＋…＋)0111qpCnnnnpqpnpn1)(故若ξ～B(n，p)，则Enp．3．常用的分布（1）两点分布随机变量X的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．)1(,1ppDXpEX（2）二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．ξ01P1pp3)1(,pnpDXnpEX（3）超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为(),0,1,2,,knkMNMnNCCPXkkmC,其中min{,}mMn，且,,,,nNMNnMNN．称分布列X01…mP0nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.1)1(,NnNNMNnMDXNnMEX4．正态分布总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2xxex式中的实数、)0(是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足,()()baPaXBxdx,则称X的分布为正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作),(2N．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～),(2N.经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．（1）正态分布),(2N）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布4通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响奎屯王新敞新疆（2）通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称奎屯王新敞新疆正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上奎屯王新敞新疆讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质奎屯王新敞新疆（3）正态曲线的性质：①曲线在x轴的上方，与x轴不相交奎屯王新敞新疆②曲线关于直线x=μ对称奎屯王新敞新疆③当x=μ时，曲线位于最高点奎屯王新敞新疆④当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）奎屯王新敞新疆并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近奎屯王新敞新疆⑤μ一定时，曲线的形状由σ确定奎屯王新敞新疆σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学奎屯王新敞新疆（4）．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(xexf，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线奎屯王新敞新疆标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位奎屯王新敞新疆任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题奎屯王新敞新疆二、典型习题讲解1．人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：设iA{第i次拨号接通电话}，1,2,3i（1）第3次才接通电话可表示为321AAA于是所求概率为;1018198109)(321AAAP（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：112123AAAAAA于是所求概率为112123()PAAAAAA112123()()()PAPAAPAAA1919813.101091098102．出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率5都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以.27431)311)(311(P（2）易知).31,6(~B∴.2316E.34)311(316D3．奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为元，当摇出的3个小球均标有数字2时，6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，12新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆所以157)6(31038CCP157)9(3101228CCCP151)12(3102218CCCP771396(912)1515155E答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是539元4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]