概率论讲义(茆诗松)

实用标准文案精彩文档第二章随机变量及其分布教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。教学时数：20学时教学过程：§2.1随机变量及其分布例2.1.1(1)掷一颗骰子，出现的点数X：1、2、…、6；(2)n个产品中的不合格品个数Y：0、1、2、…、n；(3)某商场一天内来的顾客数Z：0、1、2、…；(4)某种型号电视机的寿命T：[0,)。§2.1.1随机变量的概念定义2.1.1定义在样本空间上的实值函数称为随机变量，常用大写X、Y、Z等表示；随机变量的取值用小写字母x、y、z等表示。注意：(1)随机变量()X是样本点的函数，其定义域为，其值域为(,)R，若X表示掷一颗骰子出现的点数，则{1.5}X是不可能事件；(2)若X为随机变量，则{}Xk、{}aXb、…均为随机事件，即：{}{:()}aXbaXb；(3)注意以下一些表达式：{}{}{}XkXkXk{}{}{}aXbXbXa{}{}XbXb(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量。两类随机变量：若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个，则称X为离散随机变量；实用标准文案精彩文档若随机变量X的可能取值充满某个区间(,)ab，则称X为连续随机变量，其中a可以是，b可以是。前例2.1.1中的X、Y、Z为离散随机变量；而T为连续随机变量。§2.1.2随机变量的分布函数定义2.1.2设X是一个随机变量，对任意实数x，称()()FxpXx为随机变量X的分布函数，且称X服从()Fx，记为~()XFx，有时也可用()XFx表明是X的分布函数。定理2.1.1任一个分布函数()Fx都有如下三条基本性质：(1)单调性：()Fx是定义在整个实数轴(,)上的单调非减函数，即对任意的12xx，有12()()FxFx；(2)有界性：x，有0()1Fx，且()lim()0xFFx()lim()1xFFx(3)右连续性：()Fx是x的右连续函数，即对任意的0x，有00lim()()xxFxFx即：00(0)()FxFx。注：(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件；(2)有了分布函数的定义，可以计算：()()()paXbFbFa()()(0)pXaFaFa()1(0)pXbFb等。§2.1.3离散随机变量的概率分布列定义2.1.3设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是1x、2x、…、nx、…，则称X取ix的概率实用标准文案精彩文档()()iiippxpXx(1,2,,)in为X的概率分布列或简称为分布列，记为~iXp。分布列也可用下列形式表示：X1x2x…nx…p1()px2()px…()npx…分布列的基本性质：(1)非负性：()0ipx(1,2,)i(2)正则性：1()1iipx。注：(1)上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件；(2)离散随机变量的分布函数为：()()iixxFxpx。求离散随机变量的分布列应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值；(2)计算每个取值点的概率。对离散随机变量的分布函数应注意：(1)()Fx是递增的阶梯函数；(2)其间断点均为右连续的；(3)其间断点即为X的可能取值点；(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值。例2.1.2已知X的分布列如下：X012p131612求X的分布函数？解：001301()121212xxFxxx。例2.1.3已知X的分布函数如下，求X的分布列？000.401()0.81212xxFxxx实用标准文案精彩文档解：X的分布列如下：X012p0.40.40.2§2.1.4连续随机变量的概率密度函数因为连续随机变量X的可能取值充满某个区间(,)ab，所以对连续随机变量X，有()0pXc，从而无法仿离散随机变量用()pXc来描述连续随机变量X的分布；定义2.1.4设随机变量X的分布函数为()Fx，如果存在实数轴上的一个非负可积函数()px，使得对任意实数x，有()()xFxptdt则称X为连续随机变量，称()px为X的概率密度函数，简称为密度函数。密度函数的基本性质：(1)非负性：()0px；(2)正则性：()1pxdx。注：(1)上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件；(2)()()bapaXbpxdx；(3)()Fx是(,)上的连续函数；(4)()()(0)0pXxFxFx；(5)()()()()()()paXbpaXbpaXbpaXbFbFa；(6)当()Fx在x点可导时，()()pxFx，当()Fx在x点不可导时，()0px。离散随机变量与连续随机变量对比：离散随机变量连续随机变量分布列：()iippXx（唯一）密度函数：~()Xpx（不唯一）()()iixxFxpx()()xFxptdt()(0)FaFa且()()()paXbFbFa点点计较()0pXa实用标准文案精彩文档()Fx为阶梯函数，即：()(0)FaFa()Fx为连续函数，即：()(0)FaFa例2.1.4设30~()00xkexXpxx，求(1)常数k；(2)()Fx?解：(1)3k；(2)310()00xexFxx。例2.1.5设()110~1010pxxxXxx其它，求()Fx?解：220111022()1012211xxxxFxxxxx。例2.1.6设X与Y同分布，X的密度为2302()80xxpx其它已知事件{}AXa和{}BYa独立，且3()4pAB，求常数a？解：因为()()pApB，且A、B独立，得2()()()()2()[()]pABpApBpABpApA再由3()4pAB解得：1()2pA由此得02a因此32213()()1288aapApXaxdx从中解得34a。§2.2随机变量的数学期望§2.2.1数学期望的概念实用标准文案精彩文档例2.2.1（分赌本问题）若甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元，无平局，谁先赢3局，则获全部赌注，当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博，问如何分赌本？赌本有两种分法：(1)按已赌局数分：则甲分总赌本的23、乙分总赌本的13；(2)按已赌局数和再赌下去的“期望”分：设再赌下去，则再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。于是，甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布列为：X0100p1434甲的“期望”所得是：1301007544。这就是数学期望的由来，又称期望或均值，数学期望是一种加权平均。§2.2.2数学期望的定义定义2.2.1设离散随机变量X的分布列为()()iipXxpx(1,2,,)in若1||()iiixpx，则称1()()iiiEXxpx为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。若级数1||()iiixpx不收敛，则称X的数学期望不存在。定义2.2.2设连续随机变量X的密度函数为()px，若||()xpxdx，则称()()EXxpxdx为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。若级数||()xpxdx不收敛，则称X的数学期望不存在。例2.2.2设随机变量X的分布列如下：X1012p0.20.10.40.3求()EX?解：()10.200.110.420.30.8EX。§2.2.3数学期望的性质定理2.2.1设随机变量X的分布用分布列()ipx或用密度函数()px表示，若实用标准文案精彩文档X的某一函数()gX的数学期望(())EgX存在，则1()()(())()()iiigxpxEgXgxpxdx。例2.2.3设随机变量X的概率分布为：X012p121414求2(2)EX？解：2222111(2)(02)(12)(22)244EX36131444。数学期望的性质：(1)若c是常数，则()Ecc；(2)对任意的常数a，有()()EaXaEX；(3)对任意的两个函数1()gx、2()gx，有1212(()())(())(())EgXgXEgXEgX例2.2.4设201~()0xxXpx其它，求下列X的函数的数学期望(1)21X；(2)2(2)X?解：(1)1(21)3EX；(2)211(2)6EX。§2.3随机变量的方差与标准差数学期望只能反映平均值即X取值的中心，有很大的局限性，在一些情况下，仅知道平均值是不够的，还要讨论随机变量与其平均值的偏离程度，用什么量去表示随机变量X与其数学期望的偏离程度呢？显然，可用随机变量|()|XEX的平均值(|()|)EXEX来表示X与()EX的偏离程度，但为了数字上处理的方便，通常用2(())EXEX来表示X与()EX的偏离程度。实用标准文案精彩文档§2.3.1方差与标准差的定义定义2.3.1若随机变量2X的数学期望2()EX存在，则称偏差平方2(())XEX的数学期望2(())EXEX为随机变量X（或相应分布）的方差，记为2212(())()()(())(())()iiixEXpxVarXEXEXxEXpxdx在离散场合在连续场合称方差的正平方根()VarX为X（或相应分布）的标准差，记为()X或X。注意：(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度。方差越大，则随机变量的取值越分散。(2)标准差的量纲与随机变量的量纲相同。§2.3.2方差的性质性质2.3.122()()(())VarXEXEX。性质2.3.2若c为常数，则()0Varc。性质2.3.3若a、b为常数，则2()()VaraXbaVarX。例2.3.1设()01~2120pxxxXxx其它，求()EX和()VarX？解：12201()()(2)EXxpxdxxdxxxdx312320111|()|133xxx；122232017()()(2)6EXxpxdxxdxxxdx；2271()()(())166VarXEXEX。随机变量的标准化：设()0VarX，令()()XEXYVarX则有()0EY、()1VarY，称Y为X的标准化。实用标准文案精彩文档§2.3.3切比雪夫不等式定理2.3.1（切比雪夫不等式）设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意的常数0，有2()(|()|)VarXpXEX或2()(|()|)1VarXpXEX。定理2.3.2若随机变量X的方差存在，则()0VarX的充要条件是X几乎处处为某个常数，即()1pXa。§2.4常用离散分布§2.4.1二项分布定义如果随机变量X的分布列为()(1)kknknpXkCpp(0,1,...,)kn则称这个分布为二项分布，记为~(,)Xb