关于商品销售增长模型的建立

关于商品销售增长模型的建立摘要本文主要对商品销售增长模型的建立问题做了相关叙述。建立商品增长模型的关键是找到影响商品销售的因素以及这些因素是如何对其产生影响的。我们通过微分方程建模的方法，分析得到销售量随时间的变化规律，即销售量关于时间的函数，并且该函数受衰退因子和广告宣传影响。该模型为现实商品销售增长机制提供了很好的参考。关键词：微分方程，衰退因子，影响系数目录一、问题重述...................................................................3二、问题分析.....................................................................3三、模型假设.....................................................................3四、定义与符号说明.........................................................4五、模型的建立与求解.....................................................4（1）模型建立.............................................................4（2）模型求解.............................................................4六、模型评价与推广.........................................................5七、附录.............................................................................5一、问题重述根据经验当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量)(ts下降的速度与)(ts成正比。广告宣传可给销量添加一个增长速度，它与广告费)(ta成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M）。建立一个销售量)(ts的模型。若广告宣传只进行有限时间，且广告费为常数a，问)(ts如何变化？二、问题分析根据销售量下降的速度和销售量的关系找出衰退因子与销售量之间的微分函数，然后根据广告费和增长速度之间的关系（限于商品在市场上未饱和），设立另外一个微分函数，根据不同的广告策略建立一个关于销售量的模型。三、模型假设本题目中销售量为)(ts，它的下降速度和它本身成正比，假设)(ts的衰退因子为，在没有广告影响下)(tsdtds。假设p为的影响系数)(对)(tsta，因为广告费可以给销量增添一个增长速度，与)(ta成正比，只影响未饱和部分，则有)())(1)((tsMtstpadtds（1）当)(ts=时0)(或taM)()()(tstdsd，假设采用广告策略为rtrtrata,00,)(四、定义与符号说明)(ts销售量)(ta广告费M饱和量)(ts的衰退因子p的影响系数)(对)(tsta五、模型的建立与求解（1）模型建立)())(1)((tsMtstpadtds（1）当)(ts=M或0)(ta时：)()()(tstdsd（2）rtrtrata,00,)(当rt0时，将rata)(带入（1）得：)())(1()()(tsMtsrpatdsd，推出rpatsrMpatdsd)()()()(令crpabrMpa,，则有ctbstdsd)()()(（2）模型求解用Matlab编写程序并求解（程序见附录）得：()*(1exp(*))/,0()*exp(*),stcbtbtrstcttr六、模型评价与推广由于该模型是基于广告策略rtrtrata,00,)(建立的，而该策略说明在0-r时间内，广告费与时间成反比，超过时间r，广告费为0；在0-r时间内，实际广告费随时间的函数较为复杂，难免带来误差。可以基于实际情况，改进该广告策略，提高模型的精度。七、附录Matlab源程序clc,clear;tic;dsolve('Ds=c-b*s(t)','t')dsolve('Ds=-lm*s(t)','t')toc