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正余弦函数在高中物理解题中的应用（沈阳市青松中学110101）【摘要】高考对应用数学处理物理问题提出了要求，而且很多物理规律都和正余弦函数有关，利用正余弦函数的一些特性可以得到更多的物理信息。本文就利用正余弦函数的定义、图像、正余弦定理和正余弦函数的导数方面进行阐述。【关键词】正余弦函数；物理解题；导数【中图分类号】g633.7【文献标识码】b【文章编号】2095-3089（2012）06-0272-01在《高考考试说明》中，其中考核要求中有”应用数学处理物理问题的能力”：（1）能够根据具体问题列出物理量之间的关系，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；（2）能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。而正余弦函数因为其独特性，在物理解题中显得更加重要，本文针对正余弦函数的定义、图像、正余弦定理和正余弦函数的导数在物理解题中的应用，略举几例。一、正余弦函数定义的应用在直角三角形abc中，角c为直角，设三个角a、b、c对应的三边分别为a、b、c，定义sina=ac，sina=bc，在a为锐角时，sina和cosa均大于零。高中物理涉及很多矢量，如力、速度、加速度等，并对涉及这些矢量进行分解，就会用到正余弦函数，如力的正交分解等。二、正弦定理和余弦定理的应用在三角形abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，则有asina=bsianb=csinc2r（r为三角形外接圆的半径），这是正弦定理；余弦定理为：a2=b2+c2-2bccosa。下面我们利用正弦定理解答一道物理题，如图，c点为光滑转轴，绳ab能承受的最大拉力为1000n，杆ac能承受的最大压力为2000n。问a点最多能挂多重的物体？（绳、杆的自重不计）设ab绳上的拉力为f1，ac杆中的弹力为f2，物体的重力为g，对a点进行受力分析，如图所示，由正弦定理有f1sin45°=f2sin60°=gsin75°f1为1000n时，g=f1sin75°sin45°=1366n；当f2=2000n时，g=f2sin75°sin60°=2231n。故g不能超过1366n利用余弦定理可以求出已知两个力的合力，已知力f1和f2的大小和它们的夹角为，则根据余弦定理可以求得它们的合力为。三、正余弦函数图像与性质的应用物理题中利用正余弦函数的性质，我们可以得到很多信息。例如某一个正弦交流电电动势的瞬时表达式为e=2202sin100πtv，其函数图象如图所示，利用正余弦函数的性质可以得到下面的信息：1.交流电的周期为0.02s；2.交流电的峰值为2202v；3.在t=0.005s时，感应电动势最大为2202v，也就是此时的磁通量变化率最大，说明线圈在这个位置切割磁感线，线圈运动方向和磁感线方向正好垂直；4.从图像可知，初相角为，可以知道线圈是从中性面开始转动的，等等。四、正余弦函数导数的应用正弦函数y=sinx的导数是y=cosx，余弦函数y=cosx的导数是y=-sinx=sinx+π）。在物理中，变压器的发明使用正是利用了正余弦函数的导数的重复性。假设在变压器原线圈中有正弦交流电流i1=imsinωt，在变压器的铁芯中就会产生也是按照正弦规律变化的磁场=φmsint，当这样变化的磁场穿过副线圈时，在副线圈上就会产生感应电流，产生感应电流的形式由法拉第电磁感应定律e=nδφδt决定，即产生的电流应该与穿过副线圈的磁通量的导数有关，即i2=icost=isint+π2）。这样变压器产生的还是正弦交流电。所以在远距离输电中，不管交流电经过几次变压器，还是会得到完好的正弦交流电。这样才使得正弦交流电得以传到远方，得以广泛的应用。在解物理题时，适当的应用正余弦函数的导数会得到意想不到的信息。例如，某弹簧振子做简谐运动位移时间关系为x=10sinπ2tcm，它的导数为，其实就是弹簧振子的速度-时间图像，速度的表达式就是v=5πcos2t；速度的导数应该为加速度的表达式即a=v=-52π2sin2t。分别根据位移表达式、速度表达式、加速度表达式可以求出在任一时刻的位移、速度和加速度。如在0.5s时，将0.5s分别带入上述表达式，可以得到，它的位移为52cm，速度为5π22cm/s，加速度为-5π242cm/s2。如果知道弹簧振子的质量也可以根据f=-kx=ma求出它的劲度系数。综上所述，在解答物理问题时，适当应用正余弦函数的特点，会收到事半功倍的效果。