降落伞的选择-图文

降落伞的选择海南大学信息学院数学系舒兴明13648694787117562750问题：为了向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需要选购一些降落伞，已知空投的高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长L共16根绳子连接的重m位于球心正下方球面处，如下图：m每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用为C1由半径r决定；见下表；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用为C3为200元。r22.533.54C1651703506601000降落伞在降落过程中除了受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落伞的速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞从500m高空作降落试验，测得各个时刻的高度，见下表t(s)036912151821242730x(m)500470425372317264215160108551试确定降落伞的选购方案，即共需要多少个伞，每个伞的半径多大？在满足空投要求下，使费用最低。问题分析：每种降落伞的价格一定，选择不同半径的降落伞，需要满足空投条件，那么就与每种降落伞的最大载重能力有关，要求选择方案，必须先求出空气阻力系数k,然后根据运动方程，得出最大载重量，然后利用线性规划的方法求解最优方案。基本假设：（1）救灾物资可以任意分割；（2）降落伞落地时的速度不超过20米/秒；（3）降落伞以及绳子质量可以忽略的；（4）降落伞在降落过程中，只受到重力和一个非重力因素的空气阻力；（5）空气阻力系数k是定值，与其它因素无关。变量设置：M(r)：表示半径为r的伞在满足空投条件下的最大载重量；f：空气阻力；k：空气阻力系数；t：降落伞开始下降开始计时的时间；H(t)：降落伞下降到t时刻时的时间；m：降落伞负重重量；g：重力加速度；s：降落伞伞面面积；n(r)：选购半径为r的降落伞的个数。模型建立：（一）确定空气阻力系数k降落伞在下降过程中，受到重力和空气阻力的作用，且初速度为0。0)0(vmkvsgdtdv0)0(vkvsfdtdvmfmg（I）1、确定降落伞的高度与时间的关系式此微分方程为一阶可分离变量的方程，求解得到m/ksteksmgksmgv（II）设降落伞从降落位置到t时刻的下降距离为H(t),则t0vdt)t(H（III)22222m/kst2skgmskgemksmgt)t(H即(IV)高度x与时间的关系式为)t(H500)t(x0，tskgmskgemksmgt50022222m/kst22、由已知数据拟合阻力系数k已知，r=3，降落伞是半个球面，其面积为2r2s重力加速度g=9.8,m=300。另一方面，落地速度不超过20m/s，故有20ksmg]eksmgksmg[limvlimm/ksttt于是求得k满足2.5995k通过观测值的拟合，得到K=2.9377。(附拟合的lingo程序)sets:shuju/1..11/:t,x0,x,y;endsetsmin=@sum(shuju(i):y(i));@for(shuju(i):x(i)=500-m*g*t(i)/k/s-m^2*g*@exp(-k*s*t(i)/m)/k^2/s^2+m^2*g/k^2/s^2);s=2*pi*r^2;@for(shuju(i):y(i)=(x(i)-x0(i))^2);data:r=3;g=9.8;pi=3.1416;m=300;t=036912151821242730;x0=500470425372317264215160108551;enddata这里也可以用matlab中的非线性拟合函数先编写拟合表达式的M文件functionx=jiangluosan(k,t)r=3;s=2*pi*r^2;m=300;g=9.8;x=500-m*g*t/k/s-m^2*g/k^2/s^2*exp(-k*s*t/m)+m^2*g/k^2/s^2;再调用拟合函数[t;x]ans=036912151821242730500470425372317264215160108551[beta,r]=nlinfit(t,x,@jiangluosan,2.8)beta=2.9377r=0-2.79770.3783-0.4628-2.5475-2.48861.5977-0.31100.78140.8740-0.0334两种拟合的计算结果一样3、拟合程度的F检验t(s)036912151821242730理论值500472.7977424.6217372.4628319.5475266.4885213.4023160.3109107.218554.12981.03334观测值500470425372317264215160108551cleary=[500472.7977424.6217372.4628319.5475266.4885213.4023160.3109107.218544.12981.03334];y1=[500470425372317264215160108551];p=kruskalwallis([y',y1'])p=0.9476由此可知，拟合显著。（二）求半径为r的降落伞满足空投条件的最大载重量M(r)由方程（II)m/ksteksmgksmgv由于0emgt]e1[ksgemgteksgksgdmdvmkstmkstmkstmkst所以当其它参数不变时，v是m的单调增函数，当v达到最大时，m也达到最大。降落伞下降的最大速度v(t)与载重量M（r)的关系可以看出，在g,k,r,s给定情况下，v是M的函数，M也是v的函数。v(t)是m的增函数。证明过程说明，载重M(r)越大，降落伞的下降速度越大，当下降的极限速度达到最大值20m/s时，降落伞就达到最大载重量M（r）。则由(II)和（IV)可以得到联合方程组m/ksteksmgksmg)t(v22222m/kst2skgmskgemksmgtH消去t，得到0)mgksv1ln(gm)mvksH(ks2(V)将H=500,v=20,s=2*pi*r^2，g=9.8，K=2.9377，带入(V)，得到r22.533.54m150.6769235.4326339.0230461.4470602.7075（三）计算每种降落伞的单价（元）记c1i表示规格i的降落伞的伞面费，c2i为绳索费，c3i为固定费用。则5,4,3,2,1i,r642c5,4,3,2,1i,2003c5,4,3,2,1i,3c2c1cciiiiiii将ri分别带入上方程，得到各规格的成本r22.533.54C446596.3821.51176.81562（四）求解降落伞的选购最佳方案0Zn,n,n,n,n2000n7075.602n4470.461n0230.339n4326.235n6769.150n1562n8.1176n5.821n3.596n446min543215432154321利用lingo来求解：sets:banjing/1..5/:c,n,m;endsetsmin=@sum(banjing:c*n);@sum(banjing:m*n)=2000;@for(banjing:@gin(n));data:c=446596.3821.51176.81562;m=150.6769235.4326339.0230461.4470602.7075;enddataGlobaloptimalsolutionfoundatiteration:33Objectivevalue:4929.000N(3)6.000000模型结果的解释：即选用半径为3的降落伞6把，最小费用为4929元。模型的检验和推广：对不同半径的降落伞在满足空投条件下的最大载重量的求解验证:=5.99525.99525.99525.99525.9952（1）可以看出Mr/s为常量，而k,g为常量，故降落伞后期运动是匀速运动的充要条件是mg=f=kvs，即m/s=kv/g，所以降落伞后期作匀速运动。（2）v=mg/s/k，这样看来，后期匀速运动速度大小只与载重量和伞面积有关，与高度无关。（3）对于其他的空投重量，可以用类似的规划模型求解。（4）在气象条件理想，降落伞面半径一定时，能够研究最低空投高度与载重量的关系？（5）最好去掉整数要求，作灵敏度分析，以和假设检验呼应。sm附件，计算的lingo程序sets:shuju/1..11/:t,x0,x,y;endsetsmin=@sum(shuju(i):y(i));@for(shuju(i):x(i)=500-m*g*t(i)/k/s-m^2*g*@exp(-k*s*t(i)/m)/k^2/s^2+m^2*g/k^2/s^2);s=2*pi*r^2;@for(shuju(i):y(i)=(x(i)-x0(i))^2);data:r=3;g=9.8;pi=3.1416;m=300;t=036912151821242730;x0=500470425372317264215160108551;enddatamin=f1^2+f2^2;s=2*3.1416*r^2;h=500;v=20;g=9.8;r=3;k=2.9377;y1=@exp(-k*s*t/m);f1=v-m*g/k/s-m*g/s/k*y1;f2=h-m*t*g/k/s+m^2*g*y1/k^2/s^2-m^2*g/k^2/s^2;sets:banjing/1..5/:c,n,m;endsetsmin=@sum(banjing:c*n);@sum(banjing:m*n)=2000;@for(banjing:@gin(n));data:c=446596.3821.51176.81562;m=150.6769235.4326339.0230461.4470602.7075;enddata