浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时174.2同角三角函数的基本关系和诱导公式课件

§4.2同角三角函数的基本关系和诱导公式1.同角三角函数的基本关系2.三角函数的诱导公式教材研读考点突破考点一利用诱导公式化简考点二利用诱导公式求值考点三同角三角函数的基本关系1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:①sin2α+cos2α=1.(2)商的关系:② =tanα(α≠ +kπ,k∈Z).sincosαα2教材研读2.三角函数的诱导公式组序一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α -α +α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosα③cosα余弦cosα-cosαcosα④-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα⑤-tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律六组诱导公式可以统一成k· ±α(k∈Z)的形式,因此得记忆规律:奇变偶不变,符号看象限222易错警示1.α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上把α看成锐角时原函数值的符号.22.对于α与 的奇数倍的和差角的正切值,不能直接用诱导公式求,但可以用同角三角函数关系将正切化为正弦与余弦的商,再利用正弦函数、余弦函数的诱导公式解决.如:tan = = = .22αsin2cos2ααcossinαα1tanα1.tan330°等于 (D)A. B.- C. D.- 3333332.已知cos(-80°)=k,则tan100°= (B)A. B.- C. D.- 21k21kk21kk21kk3.已知sin = ,则cos 的值为 (D)A. B.- C. D.- 4α134α22322313134.sin2490°=-;cos =-.52312125.化简 ·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为-sin2α.cos25sin2αα 利用诱导公式化简典例1化简: .3tan()cos(2)sin2cos(3)sin(3)ααααα考点突破解析原式= = = =- =- · =-1.tancossin22cos(3)[sin(3)]αααααtancossin2(cos)sinαααααtancoscos(cos)sinαααααtancossinαααsincosααcossinαα规律总结1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 0°到360°的角的三角函数锐角三角函数2.三角函数式化简的方向(1)切化弦,统一名.(2)用诱导公式,统一角.(3)用因式分解将式子变形,化为最简.1-1化简: .222sin()cos()cos()31sincossin22αααααα解析原式= = = = . 222sin(cos)cos1sinsincosαααααα22sincoscos2sinsinαααααcos(12sin)sin(12sin)αααα1tanα典例2(1)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)=1;(2)已知cos = ,则cos -sin2 的值为-.6θ3356θ6θ利用诱导公式求值233解析(1)原式=-sin1200°cos1290°-cos1020°·sin1050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)=-sin120°cos210°-cos300°sin330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°= × + × =1.(2)因为cos =cos =-cos =- ,sin2 =sin2 =sin2 =1-cos2 =1- = ,3232121256θ6θ6θ336θ6θ6θ6θ23323所以cos -sin2 =- - =- .56θ6θ3323233◆探究若本例(2)的条件不变,求sin +sin 的值.3θ23θ解析sin =sin =cos = ,sin =sin =cos = ,所以sin +sin = .3θ26θ6θ3323θ26θ6θ333θ23θ233方法技巧用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程,常见的互余关系有 -α与 +α, +α与 -α, +α与 -α等,常见的互补关系有 -θ与 +θ, +θ与 -θ, +θ与 -θ等.3636446563234342-1求值:sin690°sin150°+cos930°cos(-870°)+tan120°·tan1050°.解析原式=sin690°sin150°+cos930°cos870°+tan120°·tan1050°=sin(360°+330°)sin150°+cos(360°×2+210°)cos(360°×2+150°)+tan120°tan(180°×5+150°)=sin330°sin150°+cos210°cos150°+tan120°tan150°=sin(360°-30°)sin(180°-30°)+cos(180°+30°)cos(180°-30°)+tan(180°-60°)tan(180°-30°)=-sin230°+cos230°+tan60°tan30°=- + +1= .143432 同角三角函数的基本关系典例3(1)(2017杭州四校高三上期中)已知- α0,sinα+cosα= ,则 的值为 (B)A. B. C. D. (2)(2017浙江镇海中学阶段性测试)已知3sinα+4cosα=5,则tanα=.215221cossinαα75257725242534解析(1)∵sinα+cosα= ,∴1+2sinαcosα= ⇒2sinαcosα=- ,∴(cosα-sinα)2= ,又∵- α0,∴cosα0sinα,∴cosα-sinα= ,∴ = = = ,故选B.1512524254925275221cossinαα1(cossin)(cossin)αααα17155257(2)解法一:由题意知3sinα=5-4cosα,两边平方得9sin2α=25-40cosα+16cos2α,即25cos2α-40cosα+16=0,得cosα= ,则sinα= ,故tanα= .解法二:把等式平方得(3sinα+4cosα)2=25,即9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25(sin2α+cos2α),两边同时除以cos2α,整理得16tan2α-24tanα+9=0,453534解得tanα= .解法三:设4sinα-3cosα=x,则x2+25=(4sinα-3cosα)2+(3sinα+4cosα)2=25,故x=0,则tanα= .解法四:因为3sinα+4cosα=5sin(α+φ),其中cosφ= ,sinφ= .易知sin(α+φ)=1,有α+φ=2kπ+ (k∈Z),343435452则sinα=sin =cosφ= ,cosα=cos =sinφ= ,故tanα= .解法五:设x=cosα,y=sinα,则有4x+3y=5,且x2+y2=1,从而角α终边上的点P(x,y)在单位圆上,且在直线l:4x+3y=5上.又直线l与单位圆相切,故直线l与角α的终边所在直线垂直,所以角α的终边所在直线的斜率为 ,故tanα= = .22kφ3522kφ453434yx34方法指导同角三角函数基本关系式的使用技巧(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用 =tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα和(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,可以知一求二.(3)注意公式的逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.sincosαα同类练1若tanα=2,则 +cos2α= (A)A. B.- C. D.- sincossincosαααα1651658585解析∵tanα=2,∴ +cos2α= + = + = .sincossincosααααsincossincosαααα222cossincosαααtan1tan1αα21tan1α165同类练2已知sinαcosα= ,且 α ,则cosα-sinα的值为 (D)A. B.± C.- D.- 384212121412解析因为sinαcosα= ,所以(cosα-sinα)2=cos2α-2sinαcosα+sin2α38=1-2sinαcosα=1-2× = ,因为 α ,所以cosαsinα,即cosα-sinα0,所以cosα-sinα=- .38144212变式练已知θ是三角形的一个内角,且sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+px-2=0的两根,则θ等于.34解析由题意知sinθ·cosθ=- ,联立 解得 或 又θ为三角形的一个内角,∴sinθ0,∴cosθ=- ,1222sincos1,1sincos,2θθθθ2sin,22cos2θθ2sin,22cos,2θθ22∴θ= .34深化练设θ为第二象限角,若tan = ,则sinθ+cosθ=-.4θ12105解析因为θ为第二象限角,且tan = 0,所以θ+ 是第三象限角,所以sin =- ,所以sinθ+cosθ= sin =- .4θ1244θ5524θ105