习题与参考答拓扑案

1五．简答题（每题4分）1、设X是一个拓扑空间，,AB是X的子集，且AB.试说明()()dAdB.答案：对于任意()xdA,设U是x的任何一个邻域，则有({})UAx,由于AB，从而({})({})UBxUAx，因此()xdB，故()()dAdB.2、设,,XYZ都是拓扑空间.:fXY,:gYZ都是连续映射，试说明:gfXZ也是连续映射.答案：设W是Z的任意一个开集，由于:gYZ是一个连续映射，从而1()gW是Y的一个开集，由:fXY是连续映射，故11(())fgW是X的一开集，因此111()()(())gfWfgW是X的开集，所以:gfXZ是连续映射.3、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A是一个开集.答案：对于xA,则xA，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得({})UAx,因此UA，即UA,所以对任何xA,A是x的一个邻域，这说明A是一个开集.4、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：若A的补集A是一个开集，则A是一个闭集.答案：设xA,则xA,由于A是一个开集，所以A是x的一个邻域，且满足AA,因此xA,从而AA,即有AA，这说明A是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：~xy)1,(,yx或者)2,1[,yx或者),2[,yx2设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[Y,试写出Y的商拓扑T.答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{YT6、在实数空间R中给定如下等价关系:~xy]1,(,yx或者]2,1(,yx或者),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[Y,试写出Y的商拓扑T.答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}TY7、在实数空间R中给定如下等价关系：~xy)1,(,yx或者)2,1[,yx或者),2[,yx设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y,试写出Y的商拓扑T.答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}TY8、在实数空间R中给定如下等价关系：~xy)1,(,yx或者)2,1[,yx或者),2[,yx设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y,试写出Y的商拓扑T.答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}TY9、在实数空间R中给定如下等价关系:~xy]1,(,yx或者]2,1(,yx或者),2(,yx3设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y,试写出Y的商拓扑T.答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}TY10、在实数空间R中给定如下等价关系:~xy]1,(,yx或者]2,1(,yx或者),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y,试写出Y的商拓扑T.答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}TY11、在实数空间R中给定如下等价关系:~xy]1,(,yx或者]2,1(,yx或者),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y,试写出Y的商拓扑T.答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}TY12、离散空间是否为2A空间?说出你的理由.答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A空间.13、试说明实数空间R是可分空间.答案:因为Q是可数集，且R的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q都有非空的交，因此RQ，故实数空间R是可分空间.414、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.答案:设X是一个度量空间,对Xx，则所有的以x为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x处的一个可数邻域基，从而X满足第一可数性公理.15、设X是一个1T空间，试说明X的每一个单点集是闭集.答案：对xX，由于X是1T空间，从而对每一个,yXyx，点y有一个邻域U使得xU，即{}Ux，故{}yx，因此{}{}xx,这说明单点集{}x是一个闭集.16、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，试说明X是一个1T空间.答案：对于任意,,xyXxy，{},{}xy都是闭集，从而{}x和{}y分别是y和x的开邻域，并且有{}xx,{}yy.从而X是一个1T空间.17、设(,)XT是一个1T空间，是任何一个不属于X的元素.令*{}XX和*X*TT{}，试说明拓扑空间*(,)X*T是一个0T空间.答案：对任意*,,xyXxy,若x,y都不是，则,xyX.由于X是一个1T空间，从而,xy各有一个开邻域,UV,使得,xVyU;若x,y中有一个是，不妨设x,则y有开邻域X不包含.由以上的讨论知，对*X中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X是0T空间.18、若X是一个正则空间，试说明：对xX及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得VU.5答案:对xX,设U是x的任何一个开邻域，则U的补集U是一个不包含点x的一个闭集.由于X是一个正则空间，于是x和U分别有开邻域V和W,使得VW，因此VW，所以VWWU.19、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得VU.答案：设A是X的任何一个闭集，若A是空集，则结论显然成立.下设A不是空集，则对A的任何一个开邻域U，则U的补集U是一个不包含点A的一个闭集.由于X是一个正规空间，于是A和U分别有开邻域V和W,使得VW，因此VW，所以VWWU.20、试说明1T空间X的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设A是X的任何一个子集，若A是空集，则()dA，从而A的导集是闭集.下设A不是空集，则对(())xdA,则x有开邻域U,使得({})UxA，由于X是1T空间，从而{}Ux是开集，故{}(())UxdA,于是(())UdA,所以(())dA是它每一点的邻域，故(())dA是开集，因此()dA是闭集.21、试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.答案：如果X的无穷子集的A没有凝聚点，则对于任意xX，有开邻域xU，使得(){}xUAx，于是X的开覆盖{|}xUxX没有有限子覆盖，从而X不是紧致空间，矛盾.故紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.22、如果XY是紧致空间，则X是紧致空间.答案：考虑投射1:PXYX，由于1:PXYX是一个连续的满6射，从而由XY紧致知X是一个紧致空间.23、如果XY是紧致空间，则Y是紧致空间.答案：考虑投射2:PXYY，由于2:PXYY是一个连续的满射，从而由XY紧致知Y是一个紧致空间.24、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集.答案：如果A是Y的任意一个由X中的开集构成的覆盖，则{}YB=A是X的一个开覆盖.设1B是B的一个有限子族并且覆盖X.则1{}YB便是A的一个有限子族并且覆盖Y，从而Y是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:fXY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则()fX是Y的一个连通子集.证明：如果()fX是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集,AB使得()fXAB……………………………………………3分于是11(),()fAfB是X的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())fAfBfBfAfAfBfBfAfABAB所以11(),()fAfB是X的非空隔离子集此外，1111()()()(())fAfBfABffXX，这说明X不连通，矛盾.从而()fX是Y的一个连通子集.…………………………8分2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集,证明:如果A和B是X的两个无交的开集使得BAY,则或者AY,或者BY.证明：因为BA,是X的开集，从而YBYA,是子空间Y的开集.7又因BAY中，故)()(YBYAY…………………4分由于Y是X的连通子集,则YBYA,中必有一个是空集.若YB,则AY;若YA,则BY…………………8分3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集,证明:如果A和B是X的两个无交的闭集使得BAY,则或者AY,或者BY.证明：因为BA,是X的闭集，从而YBYA,是子空间Y的闭集.又因BAY中，故)()(YBYAY…………………4分由于Y是X的连通子集,则YBYA,中必有一个是空集.若YB,则AY;若YA,则BY…………………8分4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZY，则Z也是X的一个连通子集.证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集,AB使得ZAB.因此YAB…………………………………3分由于Y是连通的，所以YA或者YB,如果YA，由于ZYA，所以ZBAB，因此BZB,同理可证如果YB，则A,均与假设矛盾.故Z也是X的一个连通子集.……………………………………………………………………8分5、设{}Y是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果Y,则Y是X的一个连通子集.证明：若Y是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集,AB使得YAB…………………………………………4分任意选取xY,不失一般性，设xA,对于每一个，由于8Y连通，从而YA及B,矛盾，所以Y是连通的.…………………………………………8分6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果AB,则AB.证明：若BX,则结论显然成立.下设BX,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而AB是X的子空间A的一个既开又闭的子集…………………………………4分由于AB及A连通，所以ABA，故AB.…………8分7、设A是连通空间X的非空真子集.证明:A的边界()A.证明：若()A,由于()AAA,从而()()()()AAAAAAAAAA,故,AA是X的隔离子集…………………………………………4分因为A是X的非空真子集,所以A和A均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以()A.………………………………………………8分8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.证明：若X满足第一可数公理，则在Xx处,有一个可数的邻域基，设为Vx,因为X是可数补空间，因此对xyXy,,}{yX是x的一个开邻域，从而xyVV,使得}{yXVy.于是yVy}{,…………………………………………………4分由上面的讨论我们知道：}{}{}{}{yXyyxXyVyxX9因为}{xX是一个不可数集，而}{xXyuV是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可数性公理.………………………………8分9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理.证明：若X满足第一可数公理，则在Xx处,有一个可数的邻域基，设为Vx,因为X是有限补空间，因此对xyXy,,}{yX是x的一个开邻域，从而xyVV,使得}{yXVy.于是yVy}{,…………………………………………………4分由上面的讨论我们知道：}{}{}{}{yXyyxXyVyxX因为}{xX是一个不可数集，而}{