数学分析11.1反常积分概念

第十一章反常积分1反常积分概念一、问题提出例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v0至少要多大？解：设地球半径为R，火箭质量为m，地面上的重力加速度为g.按万有引力定律，在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为F=22xmgR.于是火箭从地面上升到距离地心为r(R)处需作的功为：rR22xmgRdx=mgR2r1R1.当r→+∞时，其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功.可表示为：∞R22xmgRdx=rR22∞rxmgRlimdx=mgR.又由机械能守恒定律可求得初速度v0至少应满足：21mv02=mgR.以g=9.81m/s2,R=6.371×106m代入，可得v0=mgR≈11.2km/s.例2：圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？解：记桶中水液面到桶顶的距离为x，则水从孔中流出的流速为：v=x)-2g(h，其中g为重力加速度.设很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx，则πR2dx=vπr2dt，即有dt=x)-2g(hrR22dx.∴流完一桶水所需的时间为：tf=h022x)-2g(hrRdx，又被积函数在[0,h)上无界，所以它的确切含义为：tf=u022hux)-2g(hrRlimdx=)u-h-h(grR2lim22hu=grR2hlim22hu.二、两类反常积分的定义定义1：设函数f定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限ua∞uf(x)dxlim=J，则称此极限J为函数f在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=∞af(x)dx，并称∞af(x)dx收敛.若极限不存在，则称∞af(x)dx发散.类似的，可定义f在(-∞,b]的无穷积分：b∞f(x)dx=bu∞uf(x)dxlim.又有∞∞f(x)dx=∞af(x)dx+b∞f(x)dx,其中a为任意实数，仅当右边两个无穷积分都收敛时，∞∞f(x)dx才收敛.例3：讨论无穷积分∞1pxdx的收敛性.解：当p=1时，∞1pxdx=u1∞uxdxlim=∞ulimlnu=+∞,当p1时，∞1pxdx=u1p∞uxdxlim=1u1p-11lim1-p∞u=+∞,当p1时，∞1pxdx=u1p∞uxdxlim=1u1p-11lim1-p∞u=1-p1,∴当p≤1时，∞1pxdx发散于+∞;当p1时，∞1pxdx收敛.例4：讨论下列无穷积分的收敛性：(1)∞2px(lnx)dx;(2)∞∞2x1dx.解：(1)∵∞2px(lnx)dx=∞ln2ptdt;根据例3的结论可知，当p≤1时发散;当p1时收敛.(2)∞∞2x1dx=∞02x1dx+0∞2x1dx=u02∞ux1dxlim+0v2∞vx1dxlim=u02∞ux1dxlim+0v2∞vx1dxlim=∞ulimarttanu-∞vlimarttanv=π，收敛.定义2：设函数f定义在区间(a,b]上，在a点的任一右邻域内无界，但在任何[u,b]⊂(a,b]上有界且可积.如果存在极限buauf(x)dxlim=J，则称此极限为无界函数f在(a,b]上的反常积分，记作J=baf(x)dx，并称反常积分baf(x)dx收敛.a称为f的瑕点，而无界函数反常积分baf(x)dx又称为瑕积分.若极限不存在，则称baf(x)dx发散.类似的，可定义瑕点为b时的瑕积分：baf(x)dx=uabuf(x)dxlim.其中f在[a,b)有定义，在点b的任一左邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,b)上可积.又若f的瑕点c∈(a,b)，则定义瑕积分baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx=uacuf(x)dxlim-+bvcvf(x)dxlim,其中f在[a,c)∪(c,b]上有定义，在点c的任一邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,c)和[v,b]⊂(c,b]上都可积.当且仅当caf(x)dx和bcf(x)dx都收敛时，baf(x)dx才收敛.又若a,b都是f的瑕点，而f在任何[u,v]⊂(a,b)上可积，则定义瑕积分baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx=cuauf(x)dxlim+vcbvf(x)dxlim,其中c为(a,b)内任一实数.当且仅当cuauf(x)dxlim和vcbvf(x)dxlim都收敛时，baf(x)dx才收敛.例5：计算瑕积分102x-1dx的值.解：102x-1dx=u021ux-1dxlim-=-1ulimarcsinu=2π.例6：讨论瑕积分10qxdx(q0)的收敛性.解：当q=1时，10qxdx=1u0uxdxlim=-0ulimlnu=+∞,当0q1时，10qxdx=1uq0uxdxlim=1-q0uu11q-11lim=1-q1,当q1时，10qxdx=1uq0uxdxlim=1-q0uu11q-11lim=+∞,∴当q≥1时，10qxdx发散于+∞;当0q1时，∞1pxdx收敛.注：∵∞+0pxdx=10pxdx+∞+1pxdx(p0)，右边两个反常积分不同时收敛，∴∞+0pxdx对任何实数p发散.习题1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：(1)∞+0x-2xedx；(2)∞+∞-x-2xedx；(3)∞+0xe1dx；(4)∞+12)x1(xdx；(5)∞+∞-254x4xdx；(6)∞+0x-xsinedx；(7)∞+∞-x-xsinedx；(8)∞+02x1dx.解：(1)∞+0x-2xedx=u0x-∞u2xelimdx=)e1(lim212u-∞u=21，收敛.(2)∵0∞-x-2xedx=0ux-∞u2xelimdx=)1(elim212u-∞u=-21.∴∞+∞-x-2xedx=0∞-x-2xedx+∞+0x-2xedx=0，收敛.(3)∞+0xe1dx=-2u02x∞uelimd2x=-2)1e(lim2u∞u=2，收敛.(4)∞+12)x1(xdx=u12∞u)x1(xdxlim=1]u12ln)1u1[ln(lim∞u=1-ln2，收敛.(5)∵0∞-254x4xdx=0u2∞u54x4xdxlim=212uarctan21arctanlim41∞u=2π21arctan41；∞0254x4xdx=u02∞u54x4xdxlim=21arctan-212uarctanlim41∞u=21arctan-2π41；∴∞+∞-254x4xdx=0∞-254x4xdx+∞0254x4xdx=4π，收敛.(6)∞+0x-xsinedx=u0x-∞uxsinelimdx=∞ulim21[-e-u(cosu+sinu)+1]=21，收敛.(7)∵0∞-xxsinedx=0ux∞-uxsinelimdx=∞ulim21[eu(cosu-sinu)-1]=+∞，发散；∴∞+∞-xxsinedx发散.(8)∞+02x1dx=u02∞ux1dxlim=)u1uln(lim2∞u=+∞，发散.2、讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值.(1)bapa)-(xdx；(2)102x-1dx；(3)20|1-x|dx；(4)102x-1xdx；(5)10xlndx；(6)10x-1xdx；(7)102x-xdx；(8)10px(lnx)dx.解：(1)当p=1时，bapa)-(xdx=buaua-xdxlim=a-ua-blnlimau=+∞，发散；当p≠1时，bapa)-(xdx=bupaua)-(xdxlim=1-pau1-pa)-(u1limp-11a)-p)(b-(11，∴当p≥1时，bapa)-(xdx=+∞，发散.当p1时，bapa)-(xdx=1-pa)-p)(b-(11，收敛.(2)102x-1dx=u021ux-1dxlim=u-1u1lnlim211u=+∞，发散.(3)20|1-x|dx=211-xdx+10x-1dx=2u1u1-xdxlim+v01vx-1dxlim=2)1-u1(lim1u-2)1v-1(lim1v=4，收敛.(4)102x-1xdx=u021ux-1xlim=-)1u-1(lim21u=1，收敛.(5)10xlndx=1u0ulnxlimdx=0ulim(-ulnu-1+u)=-1，收敛.(6)a0x-1xdx=a-1a0222)t(12tdt=2(a-1a02t11dt-a-1a022)t(11dt).又a-1a02t11dt=arctana-1a，当a→1-时，其极限为2π.a-1a022)t(11dt=a-1aarctan022)θtan(11dtanθ=a-1aarctan02θcosdθ=21sinarctana-1acosarctana-1a+21arctana-1a，当a→1-时，其极限为4π.∴10x-1xdx=2(2π-4π)=2π，收敛.(7)取a∈(0,1)，则102x-xdx=1a2x-xdx+a02x-xdx=ua21ux-xdxlim+av20vx-xdxlim=2uarcsinaarcsin1udtlim+2aarcsinvarcsin0vdtlim=π，收敛.(8)∵px(lnx)dx=p(lnx)d(lnx)=1pp)(lnx)-(111p|xln|ln1-p，，又10px(lnx)dx=1apx(lnx)dx+a0px(lnx)dx,a∈(0,1).∴当p=1时，1apx(lnx)dx=ua1uxlnxdxlim=1ulim[ln(ln1)-ln(lna)]=-∞，发散.当p≠1时，1apx(lnx)dx=uap1ux(lnx)dxlim=1ulim[1-pp)(lnu)-(11-1-pp)(lna)-(11]=∞，发散.∴10px(lnx)dx发散.3、举例说明：瑕积分baf(x)dx收敛时，ba2(x)fdx不一定收敛.解：令f(x)=x1，则10f(x)dx=2，收敛.但102(x)fdx=10x1dx发散.4、举例说明：∞af(x)dx收敛且在[a,+∞)上连续时，不一定有f(x)lim∞x=0.解：例如由狄利克雷判别法知，∞12sinxdx=∞1tsintdt收敛，但∞xlimsinx2不存在.5、证明：若∞af(x)dx收敛，且存在极限f(x)lim∞x=A，则A=0.证：若A≠0，不妨设A0，则由f(x)lim∞x=A，取ε=2A0，存在M，使当xM时，有|f(x)-A|2A，即2Af(x)23A.记f(x)=g(x)+2A，则∞af(x)dx=∞ag(x)dx+∞a2Adx，∵∞a2Adx发散，∴∞af(x)dx发散，矛盾.∴f(x)lim∞x=A=0.6、证明：若f在[a,+∞)上可导，且∞af(x)dx与∞a(x)fdx都收敛，则f(x)lim