2013年高考文科数学江西卷word解析版

2013江西文科数学第1页共10页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，文1)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：z＝i(－2－i)＝1－2i，在复平面上的对应点为(1，－2)，在第四象限，故选D.2．(2013江西，文2)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()．A．4B．2C．0D．0或4答案：A解析：当a＝0时，显然不成立；当a≠0时．由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4.故选A.3．(2013江西，文3)若3sin23，则cosα＝()．A．23B．13C．13D．23答案：C解析：cosα＝212sin22311233.故选C.4．(2013江西，文4)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()．A．23B．12C．13D．16答案：C解析：从A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为2163.故选C.5．(2013江西，文5)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08B．07C．02D．01答案：D解析：所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D.6．(2013江西，文6)下列选项中，使不等式x＜1x＜x2成立的x的取值范围是()．A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)答案：A解析：原不等式等价于230,1,xxx①或230,1,xxx②①无解，解②得x＜－1.故选A.7．(2013江西，文7)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是()．2013江西文科数学第2页共10页A．S＜8B．S＜9C．S＜10D．S＜11答案：B解析：i＝2，S＝5；i＝3，S＝8；i＝4，S＝9，结束．所以填入的条件是“S＜9”．故选B.8．(2013江西，文8)一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为()．A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π答案：A解析：由三视图可知，该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成．所以体积V＝4×10×5＋12×π·32·2＝200＋9π.故选A.9．(2013江西，文9)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()．A．2∶5B．1∶2C．1∶5D．1∶3答案：C解析：射线FA的方程为x＋2y－2＝0(x≥0)．如图所示，知tanα＝12，∴sinα＝55.由抛物线的定义知|MF|＝|MG|，∴||||51sin||||55FMMGMNMN.故选C.10．(2013江西，文10)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆2013江西文科数学第3页共10页O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图像大致为()．答案：B解析：假设经过t秒后，圆心移到O1，则有∠EO1F＝2∠AO1F，且cos∠AO1F＝1－t.而x＝1·∠EO1F，∴y＝cosx＝cos∠EO1F＝cos2∠AO1F＝2cos2∠AO1F－1＝2(1－t)2－1＝2t2－4t＋1＝2(t－1)2－1，t∈[0,1]．故选B.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013江西，文11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案：2解析：切线斜率k＝2010＝2，又y′＝αxα－1在点(1,2)处，y′|x＝1＝α，故α＝2.12．(2013江西，文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．答案：6解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＝21212n＝2(－1＋2n)≥100，∴2n≥51，∴n≥6.2013江西文科数学第4页共10页13．(2013江西，文13)设f(x)＝3sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．答案：[2，＋∞)解析：∵f(x)＝3sin3x＋cos3x＝2sinπ36x∈[－2,2]，又∵|f(x)|≤a恒成立，∴a≥2.14．(2013江西，文14)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．答案：22325(2)24xy解析：圆心在直线x＝2上，所以切点坐标为(2,1)．设圆心坐标为(2，t)，由题意，可得4＋t2＝(1－t)2，∴32t，半径2254r.所以圆C的方程为22325(2)24xy.15．(2013江西，文15)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案：4解析：作FO⊥平面CED，则EO⊥CD，FO与正方体的侧棱平行，所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，文16)(本小题满分12分)正项数列{an}满足：2na－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令1(1)nnbna，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由2na－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.(2)由an＝2n，1(1)nnbna，则11112121nbnnnn，111111111222311nTnnnn111212(1)nnn.17．(2013江西，文17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若2π3C，求ab的值．2013江西文科数学第5页共10页解：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB.由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由2π3C，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以35ab.18．(2013江西，文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解：(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA·5OA，共1种；数量积为－1的有1OA·5OA，1OA·6OA，2OA·4OA，2OA·6OA，3OA·4OA，3OA·5OA，共6种；数量积为0的有1OA·3OA，1OA·4OA，3OA·6OA，4OA·6OA，共4种；数量积为1的有1OA·2OA，2OA·3OA，4OA·5OA，5OA·6OA，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为1715p；因为去唱歌的概率为2415p，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝41111515.19．(2013江西，文19)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.2013江西文科数学第6页共10页(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝3.在Rt△CFB中，BC＝6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，所以BE⊥平面BB1C1C.(2)解：三棱锥EA1B1C1的体积V＝13AA1·111ABCS＝2.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝221111=32ADDC.同理，EC1＝221=32ECCC，A1E＝2221=23AAADDE.故11ACES＝35.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积V＝13·d·11ACES＝5d，从而52d，105d.20．(2013江西，文20)(本小题满分13分)椭圆C：2222=1xyab(a＞b＞0)的离心率32e，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．2013江西文科数学第7页共10页解：(1)因为32cea，所以23ac，13bc.代入a＋b＝3，得3c，a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为2214xy.(2)方法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)10,2kk，①①代入2214xy，解得P222824,4141kkkk.直线AD的方程为：112yx.②①与②联立解得M424,2121kkkk.由D(0,1)，P222824,4141kkkk，N(x,0)三点共线知222410141820041kkkxk，解得N42,021kk.所以MN的斜率为m＝22404212121424222122142121kkkkkkkkkkk，则2m－k＝21122kk(定值)．方法二：设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则002ykx，直线AD的方程为：1(2)2yx，直线BP的方程为：00(2)2yyxx，直线DP的方程为：0011yyxx，令y＝0，由于y0≠1可得N00,01xy，联立0012,22,2yxyyxx2013江西文科数学第8页共10页解得M00000004244,2222yxyyxyx，因此MN的斜率为m＝000000000422424221yyxyxxyxy＝002200000414844yyyyxyx＝00220000041484444yyyyxyy