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专题1追及、相遇问题和运动图象问题按Esc键退出返回目录一、追及、相遇问题两个物体在同一直线上同向运动时,由于二者速度关系的变化,会导致二者之间的距离发生变化,出现追及、相撞等现象。此类问题对考生综合分析问题的能力要求较高,是高考命题的热点之一。按Esc键退出返回目录1.解答常用方法解决此类问题的关键在于寻找追及过程中两物体的位移关系、速度关系和时间关系。(1)物理分析法:抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键。(2)极值法:设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若Δ0,即有两个解,说明可以相遇两次;若Δ=0,说明刚好追上或相碰;若Δ0,说明追不上或不能相碰,这个过程中若需讨论极值,可利用函数的极值公式求解。(3)图象法:将两者的速度图象在同一个坐标系中画出,然后根据图象求解。2.追及问题追和被追的两物体的速度相等(同向运动)是能追上、追不上、两者距离有极值的临界条件。(1)速度大者减速(匀减速直线运动)追速度小者(匀速运动)①若二者速度相等、追者位移仍小于被追者位移与二者的初始距离之和,则永远追不上,此时二者有最小距离。②若二者速度相等时,追者位移恰等于被追者位移与二者的初始距离之和,则刚好追上,二者刚好避免相撞。(2)速度小者加速(初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(匀速运动)。③若追者位移恰等于被追者位移与二者的初始距离之和时追者的速度仍大于被追者的速度,则被追者还能有一次追上追者,二者速度相等时,二者间距有一个再次相遇前的最大值。①当二者速度相等时,二者之间有相遇前的最大距离。②当追者位移等于被追者位移与二者的初始距离之和时,后者追上前者。【例1】(2012·陕西宝鸡中学高三月考改编)一个步行者以6m/s的最大速率跑步去追赶被红绿灯阻停的公共汽车,当它距离公共汽车25m时,绿灯亮了,车子以1m/s2的加速度匀加速起动前进,判断人能否追上汽车?若不能追上,求出人车之间的最小或最大距离。答案:不能追上;最近距离为7m。解析:汽车的速度达到人的速度时,用时间t=6s。此时人的位移x人=v人t=36m,x车= at2= ×1×62m=18m,因x人x车+25m,所以人不能追上汽车。追车开始时,由于人的速度大于车的速度,所以人和车之间的距离越来越小,当二者等速时,距离最小,有Δx=(x车+25m)-x人=7m。1212按Esc键退出返回目录拓展链接1(2011·安徽巢湖质检)警车A停在路口,一违章货车B恰好经过A车,A车立即加速追赶,它们的v t图象如图所示。则0~4s时间内,下列说法正确的是()。A.A车的加速度为5m/s2B.3s末A车速度为7m/sC.在2s末A车追上B车D.两车相距最远为5m答案：D解析:根据题图可知,A车的加速度a=2.5m/s2,3s末的速度v=at=7.5m/s,选项A、B错误;2s末B车的位移xB=2×5m=10m,A车的位移xA=5m,二者速度相等,相距最远为xB-xA=5m,选项C错,D对。【例2】经检测汽车A的制动性能为:以标准速度20m/s在平直公路上行驶时,制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行驶,发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶,司机立即制动,会不会发生撞车事故?解析:汽车A以v0=20m/s的初速做匀减速直线运动经40s停下来。据加速度公式可求出a=-0.5m/s2,当A车减为与B车同速时若能赶上或超过B车则相撞,反之则不能相撞。A车减为与B车同速用时t= = s=28s,此时间内B车的位移为x2=v2t=6×28m=168m,A车的位移x1= = m=364m,两车位移之差Δx=x1-x2=(364-168)m=1960vva2060.52202vva400360.52m180m,所以两车会相撞。按Esc键退出返回目录答案:会按Esc键退出返回目录拓展链接2列车以72km/h的速度行驶,司机突然发现同一平直铁路上前方500m处,一列货车正以36km/h的速度匀速同向行驶,为避免撞车,列车司机立即刹车,求列车刹车时加速度的最小值。答案:0.1m/s2按Esc键退出返回目录解析:设列车刹车的加速度大小为a,刹车后经时间t,列车速度与货车速度相等,这段时间内货车、列车的位移分别为x1、x2,如图所示,则不相撞的条件是x1+500m≥x2 ①x1=v1t ②根据匀变速运动规律有x2=v2t- at2 ③v2-at=v1 ④由④得t= 1221vva按Esc键退出返回目录代入②③,结合①得a≥(𝑣2−𝑣1)22𝑥=0.1m/s2即最小加速度为0.1m/s2。按Esc键退出返回目录3.相遇问题(1)同向运动的物体,追者位移等于被追者位移与二者初始距离之和时即相遇。(2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。【例3】甲、乙两车在一平直道路上同向运动,其v t图象如图所示,图中△OPQ和△OQT的面积分别为s1和s2(s2s1)。初始时,甲车在乙车前方s0处。则()。A.若s0=s1+s2,两车不会相遇B.若s0s1,两车相遇2次C.若s0=s1,两车相遇1次D.若s0=s2,两车相遇1次答案：ABC解析:T时刻,甲车的位移为s2,乙车和甲车的位移之差为s1。若s0=s1+s2,即s0s1,速度相等时,乙车还没有追上甲车,此后甲车比乙车快,乙车不可能追上甲车,选项A对;若s0s1,乙车追上甲车时乙车比甲车快,因为甲车加速度大,甲车会再追上乙车,之后乙车不能再追上甲车,选项B对;若s0=s1,恰好在速度相等时追上,之后不会再相遇,选项C对;若s0=s2(s2s1),两车速度相等时乙车还没有追上甲车,之后甲车快,乙车不可能追上甲车,选项D错。拓展链接3(2011·南昌高三一模)如图为两个物体A和B在同一直线上沿同一方向同时做匀加速运动的v t图象。已知在第3s末两个物体在途中相遇,则物体的出发点的关系是()。A.从同一地点出发B.A在B前3m处C.B在A前3m处D.B在A前5m处答案：C二、运动图象问题1.x t图象、v t图象规律图线类型x t图象v t图象直线匀速直线运动或静止匀速直线或匀变速运动曲线变速运动变加速运动图象的斜率等于速度,斜率为正(或负)值,表示速度为正(或负)方向等于加速度,斜率为正(或负)值,表示加速度为正(或负)方向图象与时间轴所围“面积”等于在该时间内的位移。若此“面积”在时间轴上(或下)方,则位移取正(或负)值 图甲中①②③④⑤分别表示负向匀速、正向加速、正向匀速、静止、负向匀速运动。图乙中①②③④⑤分别表示正向匀减速、正向变加速、正向匀加速、匀速、负向匀加速运动。2.解题思路(1)要正确理解图象上的点、斜率、面积、截距的物理意义。(2)要尽可能写出图象的函数式,能将函数式、物理规律和运动示意图有机结合起来。3.图象的识别及基本应用一物体自t=0时开始做直线运动,其速度图象如图所示。下列选项正确的是()。【例4】(2011·海南单科)A.在0~6s内,物体离出发点最远为30mB.在0~6s内,物体经过的路程为40mC.在0~4s内,物体的平均速率为7.5m/sD.在5~6s内,物体所受的合外力做负功按Esc键退出返回目录答案：BC解析:第5s末,物体离出发点最远为35m,第6s内又反向运动了5m,故6s内物体经过的路程为40m,选项A错误、B正确。在0~4s内的路程为30m,故平均速率为7.5m/s,选项C正确。在5~6s内,物体的动能在增加,故合外力做正功,选项D错误。拓展链接4(2012·山东潍坊高三质检)下列图象能正确反映物体在直线上运动,经2s又回到初始位置的是 ()。答案：AC解析:x t图中,图象斜率的正负表示速度的方向,选项A中物体先向正方向运动1s,再向负方向运动1s回到初始位置,选项A正确;v t图中的面积表示位移,选项B中物体在0~2s内的位移不为零;选项C中,物体先向正方向匀减速运动,时间为1s;再向负方向做加速度大小不变的匀加速运动,时间为1s,位移为零,选项C正确;选项D中,0~2s内,物体的速度变化量为0,物体始终在沿同一方向运动,位移不为0,选项D错误。4.利用图象解题【例5】一水平的浅色长传送带上放置一煤块(可视为质点),煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时,传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动,当其速度达到v0后,便以此速度做匀速运动。经过一段时间,煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后,煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。解析:根据“传送带上有黑色痕迹”可知,煤块与传送带之间发生了相对滑动,煤块的加速度a=μga0,黑色痕迹长度是传送带和煤块二者的相对位移,其大小等于二者对地位移之差。在同一坐标系中作出传送带和煤块的v t图象如图所示,所求即图中△OAB的面积值。S△AOB= AB×BC= ( - )v0= 12120vμg00va2000()2vaμgμag按Esc键退出返回目录得黑色痕迹的长度l= 。2000()2vaμgμag答案: 2000()2vaμgμag按Esc键退出返回目录拓展链接5一物体做直线运动,依次通过A、B、C三点,AB=BC,物体在AB段的加速度为a1,在BC段的加速度为a2,且物体在B点的速度为vB=𝑣𝐴+𝑣𝐶2,则()。A.a1a2B.a1=a2C.a1a2D.不能确定答案：C解析:依题意作出物体的vt图象如图所示,图线下方所围成的面积表示物体的位移,由几何知识知图线②③不满足AB=BC,所以只能是①这种情况,因为斜率表示加速度,所以a1a2,故选C。按Esc键退出返回目录