球的习题课(成稿)与向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题

球的习题课OCAB练习：1.湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，留下一个直径为24cm，深8cm的空穴，则球的半径为_______.2.A,B是半径为R的球面上的两点,它们的球面距离为πR/2,经过AB的平面中与球心的最大距离为___.R22133.地球半径用R表示,在赤道上有东经和西经的A,B两点,试求A,B两点间的球面距离.01450125OABR2OO1AB2.设地球的半径为R，地球上A、B两点都在北纬45°的纬线上，A、B两点的球面距离是,A在东经200，求B点的位置。R3变式练习1.甲乙两地在北纬450圈上，且它们分别位于东经690与西经210，求甲乙在北纬45°圈上的劣弧长与其球面距离之比。4:23例3.在半径为1的球面上有三点A,B,C,A和B,A和C的球面距离都为,B和C的球面距离为,过A,B,C三点作截面.求球心到截面的距离.23ABCO变式练习已知A,B,C是半径为R的球面上三点,,试求RACBCAB22OABCVCOABP24810R结论：１.长方体的外接球直径＝长方体体对角线２.正方体的内切球直径＝正方体棱长３.棱长为a的正四面体的内切球半径＝外接球半径＝a46a126•1.两个球的体积之比是８：２７，求它们的表面积之比________.•2.在球面上有4个点P,A,B,C,若PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,则这个球的表面积为_________.23a变式练习4：93．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球表面积为（２００３高考）ＡＢＣＤ233463MNCEA•4.一个正方体内接于球,过球心O作一个截面,则截面可能的图形是()•A.(1)(3)B.(2)(4)C.(1)(2)(3)D.(2)(3)(4)....(1)(2)(3)(4)C二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。一、复习球体的体积与表面积343VR球①24SR球面②解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题球与正方体的“接切”问题典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面•找准数量关系21araaaa2ar222aa2ar2331.已知长方体的长、宽、高分别是、、1，求长方体的外接球的体积。35A1AC1CO变题：2.已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。沿对角面截得：ACBPO半球的半径为R，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长四面体与球的“接切”问题典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法O1ABEOO1ABEO1例、正三棱锥的高为1，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。62232过侧棱AB与球心O作截面(如图)在正三棱锥中，BE是正△BCD的高O1是正△BCD的中心，且AE为斜高62BC21EO3AE且26243362213S全3669O1ABEOO1ABEO123例、正三棱锥的高为1，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。62设内切球半径为r，则OA=1－r作OF⊥AE于FF∵Rt△AFO∽Rt△AO1E312rr26r6258S球O1ABEO132θ33sin36cos在Rt△AO1E中sincos12tan23在Rt△OO1E中26OO16258S球例、正三棱锥的高为1，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。621624331V2BCDA26r6258S球例、正三棱锥的高为1，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。62OABCD设球的半径为r，则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD32全Sr31r3223内切球全多面体rS31V球的表面积与体积正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为________．变题[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a.(1)求它的外接球半径；(2)求它的内切球半径．作业球的表面积与体积正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为________．•【思路点拨】根据球截面性质找出球半径与截面圆半径和球心到截面距离的关系，求出球半径．[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a.(1)求它的外接球半径；(2)求它的内切球半径．(12分)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的全面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．•【思路点拨】(1)利用特征三角形求斜高即可；•(2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求球的半径．【规范解答】(1)底面正三角形内中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面积的斜高为12＋(2)2＝3.2分∴S侧＝3×12×26×3＝92.4分∴S全＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.6分(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O，连结OP、OA、OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC＝VO—PAB＋VO—PBC＋VO—PAC＋VO—ABC＝13S侧·r＋13S△ABC·r＝13S全·r＝(32＋23)r.又VP—ABC＝13×12×32(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2.8分∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.10分V内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.12分