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难点7双变量的“任意性”与“存在性”问题1.“存在=存在”型∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B的交集不为空集,即A∩B≠⌀.其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.典例1已知函数f(x)=x2-ax3,a0,x∈R.g(x)=.若∃x1∈(-∞,-1],∃x2∈,使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.解析∵f(x)=x2-ax3,∴f'(x)=2x-2ax2=2x(1-ax).令f'(x)=0,得x=0或x=.∵a0,∴0,∴当x∈(-∞,0)时,f'(x)0,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递减,f(x)在(-∞,-1]上的值域为.∵g(x)=,∴g'(x)==.∵当x-时,g'(x)0,∴g(x)在上单调递增,∴g(x)g=,∴g(x)在上的值域为.若∃x1∈(-∞,-1],∃x2∈,使得f(x1)=g(x2),则1+,a.故实数a的取值范围是.对点练已知函数f(x)=和函数g(x)=a·sinx-a+1(a0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.B.[1,2)C.D.答案C设函数f(x),g(x)在[0,1]上的值域分别为A,B,则“存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立”等价于“A∩B≠⌀”.当0≤x≤时,f(x)=-x+单调递减,所以0≤f(x)≤;当x≤1时,f'(x)=0,所以f(x)=单调递增,f(x)≤,故f(x)在[0,1]上的值域A=.当x∈[0,1]时,x∈,y=sinx在[0,1]上单调递增.又a0,所以g(x)=asinx-a+1在[0,1]上单调递增,其值域B=.由A∩B≠⌀,得0≤1-a≤或0≤1-≤,解得≤a≤2.故选C.2.“任意=存在”型∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B的子集,即A⊆B.其等价转化的基本思想:函数f(x)的任意一个函数值都与函数g(x)的某一个函数值相等,即f(x)的函数值都在g(x)的值域之中.典例2已知函数f(x)=,x∈[0,1].(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意的x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.解析(1)f'(x)==-,x∈[0,1].令f'(x)=0,解得x=或x=(舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:x01f'(x)-0+f(x)-↘-4↗-3所以f(x)的递减区间是,递增区间是.f(x)min=f=-4,又f(0)=-,f(1)=-3,所以f(x)max=f(1)=-3.故当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3].(2)“对于任意的x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立”等价于“在x∈[0,1]上,函数f(x)的值域B是函数g(x)的值域A的子集,即B⊆A”.因为a≥1,且g'(x)=3(x2-a2)0,所以当x∈[0,1]时,g(x)为减函数,所以g(x)的值域A=[1-2a-3a2,-2a].由B⊆A,得1-2a-3a2≤-4且-2a≥-3,又a≥1,故1≤a≤.对点练已知函数f(x)=x2-ax3(a0),x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1.求a的取值范围.解析(1)由已知,有f'(x)=2x-2ax2(a0).令f'(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0f'(x)-0+0-f(x)↘0↗↘所以,f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是(-∞,0),.当x=0时,f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=时,f(x)有极大值,且极大值f=.(2)由f(0)=f=0及(1)知,当x∈时,f(x)0;当x∈时,f(x)0.设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B=,则“对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1”等价于A⊆B.显然,0∉B.下面分三种情况讨论:①当2,即0a时,由f=0可知,0∈A,而0∉B,所以A不是B的子集.②当1≤≤2,即≤a≤时,有f(2)≤0,且此时f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(-∞,f(2)),因而A⊆(-∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),即(-∞,0)⊆B.所以,A⊆B.③当1,即a时,有f(1)0,且此时f(x)在(1,+∞)上单调递减,故B=,A=(-∞,f(2)),所以A不是B的子集.综上,a的取值范围是.3.“任意≥(≤、、)任意”型∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)g(x2)恒成立,等价于f(x)ming(x)max,或等价于f(x)g(x)max恒成立,或等价于f(x)ming(x)恒成立.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任何一个函数值均大于函数g(x)的任何一个函数值.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)g(x2)恒成立,等价于f(x)maxg(x)min,或等价于f(x)g(x)min恒成立,或等价于f(x)maxg(x)恒成立.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任何一个函数值均小于函数g(x)的任何一个函数值.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)-g(x2)k恒成立,等价于[f(x1)-g(x2)]mink恒成立,也等价于f(x)min-g(x)maxk.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)-g(x2)k恒成立,等价于[f(x1)-g(x2)]maxk恒成立,也等价于f(x)max-g(x)mink.典例3设函数f(x)=x3-x2-3.(1)求f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=+xlnx,如果对任意的x1,x2∈,都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数a的取值范围.解析(1)f'(x)=3x2-2x.f'(x)0时,x0或x,f'(x)0时,0x.所以,f(x)的递增区间是(-∞,0),;递减区间是.(2)由(1)知,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,而f=-,f(2)=1,故f(x)在区间上的最大值f(x)max=f(2)=1.“对任意的x1,x2∈,都有f(x1)≤g(x2)成立”等价于“对任意的x∈,g(x)≥f(x)max恒成立”,即当x∈时,g(x)=+xlnx≥1恒成立,即a≥x-x2lnx恒成立,记u(x)=x-x2lnx,则有a≥u(x)max.u'(x)=1-x-2xlnx,可知u'(1)=0.当x∈时,1-x0,2xlnx0,则u'(x)0,所以u(x)在上递增;当x∈(1,2)时,1-x0,2xlnx0,则u'(x)0,所以u(x)在(1,2)上递减.故u(x)在区间上的最大值u(x)max=u(1)=1,所以实数a的取值范围是[1,+∞).点拨(1)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)g(x2)恒成立,通常等价转化为f(x)ming(x)max.这是两个独立变量——双变量问题,不等式两边f(x1),g(x2)中自变量x1,x2可能相等,也可能不相等;(2)对任意的x∈[m,n],不等式f(x)g(x)恒成立,通常等价转化为[f(x)-g(x)]min0.这是单变量问题,不等式两边f(x),g(x)的自变量x相等.对点练函数f(x)=+1(m≠0),g(x)=x2eax(a∈R).(1)直接写出函数f(x)的单调区间;(2)当m0时,若对于任意的x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立,求a的取值范围.解析(1)当m0时,f(x)的递增区间是(-1,1);递减区间是(-∞,-1),(1,+∞).当m0时,f(x)的递增区间是(-∞,-1),(1,+∞);递减区间是(-1,1).(2)当m0时,“对于任意的x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立”等价于“对于任意的x∈[0,2],f(x)min≥g(x)max成立”.当m0时,由(1)知,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,因为f(0)=1,f(2)=+11,所以f(x)min=f(0)=1,故应满足1≥g(x)max.因为g(x)=x2eax,所以g'(x)=(ax2+2x)eax.①当a=0时,g(x)=x2,此时g(x)max=g(2)=4,不满足1≥g(x)max.②当a≠0时,令g'(x)=0,得x=0或x=-.(i)当-≥2,即-1≤a0时,在[0,2]上,g'(x)≥0,g(x)在[0,2]上单调递增,g(x)max=g(2)=4e2a.由1≥4e2a,得a≤-ln2,所以-1≤a≤-ln2.(ii)当0-2,即a-1时,在上,g'(x)≥0,g(x)递增;在上,g'(x)0,g(x)递减.g(x)max=g=,由1≥,得a≤-,所以a-1.(iii)当-0,即a0时,显然在[0,2]上,g'(x)≥0,g(x)单调递增,于是g(x)max=g(2)=4e2a4,此时不满足1≥g(x)max.综上,a的取值范围是(-∞,-ln2].4.“任意≥(≤、、)存在”型∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)g(x2)成立,等价于f(x)ming(x)min.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任意一个函数值大于函数g(x)的某一个函数值,但并不要求大于函数g(x)的所有函数值.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)g(x2)成立,等价于f(x)maxg(x)max.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任意一个函数值小于函数g(x)的某一个函数值,但并不要求小于函数g(x)的所有函数值.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)k成立,等价于f(x)min-g(x)mink.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)k成立,等价于f(x)max-g(x)maxk.典例4函数f(x)=lnx-x+-1,g(x)=x2-2bx+4,若对任意的x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.解析“对任意的x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立”等价于“f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在[1,2]上的最小值,即f(x)min≥g(x)min(*)”.f'(x)=--=,当x∈(0,1)时,f'(x)0,f(x)单调递减;当x∈(1,2)时,f'(x)0,f(x)单调递增.故当x∈(0,2)时,f(x)min=f(1)=-.又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2],①当b1时,g(x)min=g(1)=5-2b3,此时与(*)矛盾;②当b∈[1,2]时,g(x)min=g(b)=4-b2≥0,同样与(*)矛盾;③当b∈(2,+∞)时,g(x)min=g(2)=8-4b,由8-4b≤-,得b≥.综上,实数b的取值范围是.对点练已知函数f(x)=x3+x2+ax.(1)若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求a的最小值;(2)若g(x)=,∀x1∈,∃x2∈,使得f'(x1)≤g(x2)成立,求a的取值范围.解析(1)由题设知f'(x)=x2+2x+a≥0,即a≥-(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立,而y=-(x+1)2+1在[1,+∞)上单调递减,则ymax=-3,∴a≥-3,∴amin=-3.(2)“∀x1∈,∃x2∈,使f'(x1)≤g(x2)成立”等价于“x∈时,f'(x)max≤g