高中物理竞赛辅导__几何光学

几何光学§1.1几何光学基础1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。3、光的反射定律：①反射光线在入射光线和法线所决定平面内；②反射光线和入射光线分居法线两侧；③反射角等于入射角。4、光的折射定律：①折射光线在入射光线和法线所决定平面内；②折射光线和入射光线分居法线两侧；③入射角 1 i 与折射角 2 i 满足 2 2 1 1 sin sin i n i n=；④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为 1 n 的光密介质对折射率为 2 n 的光疏介质的临界角 1 2 sin n n C=）。§1.2光的反射1.2.1、组合平面镜成像：1.组合平面镜由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于O点）镜间放一点光源S（图1-2-1），S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了 1 S 、 2 S 、 3 S 三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和 1 S 、S和 2 S 、 1 S 和 3 S 、 2 S 和 3 S 之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。两面平面镜AO和BO成60º角放置（图1-2-2），用上述规律，很容易确定像的位置：①以O为圆心、OS为半径作圆；②过S做AO和BO的垂线与圆交于 1 S 和 2 S ；③过 1 S 和 2 S 作BO和AO的垂线与圆交于 3 S 和 4 S ；④过 3 S 和 4 S 作AO和BO的垂线与圆交于 5 S ， 5 1 ~ S S 便是S A B S S1 S2 S3 O 图 1­2­1 S S1 S2 S3 S4 S5 O 图 1­2­2高中物理竞赛光学教程第一讲几何光学在两平面镜中的5个像。双镜面反射。如图1-2-3，两镜面间夹角 a =15º,OA=10cm，A点发出的垂直于 2 L 的光线射向 1 L 后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？如图1-2-4所示，光线经 1 L 第一次反射的反射线为BC，根据平面反射的对称性, BC C B=¢，且∠ a C BO=¢。上述 D C B A¢¢, , , 均在同一直线上，因此光线在 1 L 、 2 L 之间的反复反射就跟光线沿 C AB¢直线传播等效。设 N¢是光线第n次反射的入射点，且该次反射线不再射到另一个镜面上，则n值应满足的关系是 na 90º a n ) 1 (+£， 6 90 0= a n 。取n=5，∠ 0 75=¢OA N ，总路程 cm OAtg N A 3 . 37 5==¢a。2、全反射全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于临界角 21 1 sin n a-=时，光线发生全反射。全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分——光导纤维，就是利用光的全反射现象。图1-2-5是光导纤维的示意图。AB为其端面，纤维内芯材料的折射率 3 . 1 1= n ，外层材料的折射率 2 . 1 2= n ，试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？图1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，β表示光第二次的入射角，只要β大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。 21 1 sin n-=b 0 1 1 2 1 4 . 67 3 . 1 2 . 1 sin sin===-- n n o o o r 6 . 22 4 . 67 90 2=-=-=bp 1 / 3 . 1 sin / sin= r i 只要 o i i 30 , 50 . 0 sin即可。例1、如图1-2-6所示，AB表示一平直的平面镜， 2 1 P P 是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），MN是屏，三者相互平行，屏MN上的ab表示一条竖直的缝（即ab之间是α L1 L2 A O C B C¹ O¹ D 图1-2-4 i γβ A B n1 n2 图1-2-5 P1 P2 M N a b A B S 图1-2-6图1-2-3α L1 L2 A O高中物理竞赛光学教程第一讲几何光学透光的）。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S（其位置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在 2 1 P P 上把这部分涂以标志。分析:本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。解法一：相对于平面镜AB作出人眼S的像 S¢。连接Sa并延长交平面镜于点C，连接 S¢与点C并延长交米尺 2 1 P P 于点E，点E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接 b S¢并延长交米尺 2 1 P P 于点F，且 b S¢与平面镜交于D，连接S与点D，则点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E与F之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图1-2-7所示。解法二：根据平面镜成像的对称性，作米尺 2 1 P P 及屏MN的像，分别是¢¢ 2 1 P P 及 N M¢¢，a、b的像分别为 b a¢¢, ，如图1-2-8所示。连接Sa交AB于点C，延长并交¢¢ 2 1 P P 于点 E¢，过点 E¢作 ) ( 2 1 AB P P 的垂线，交于点E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接 b S¢交AB于点D，延长并交¢¢ 2 1 P P 于点 F¢，过点F¢作 2 1 P P （AB）的垂线 2 1 P P 交于点F，点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。EF部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中，利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。例2、两个平面镜之间的夹角为45º、60º、120º。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。 A B C D E F M N 2 P S S¢ 1 P a b 图 1­2­7 A B C D E F M N 2 P S 1 P a b M¢ N¢¢2 P¢1 P a¢ b¢图 1­2­8 A B O P P1 P2 120 （d） P5 A B O P1 P2 P3 P4 60º P （b） P4 A B O 45 P1 P2 P3 P5 P6 P7 P （c）图 1­2­9 A B O θ P1 P2 P3 P4 （a） P高中物理竞赛光学教程第一讲几何光学解：设两平面镜A和B的夹角为2θ，物P处在他们的角等分线上，如图1-2-9（a）所示。以两镜交线经过的O点为圆心，OP为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平面镜A成的像用L 3 1 ,P P 表示，由平面镜B成的像用L 4 2 ,P P 表示。由图不难得出：L 3 1 ,P P 在圆弧上的角位置为L 4 2 , , ) 1 2 ( P P kq+在圆弧上的角位置为qp ) 1 2 ( 2-- k 。其中k的取值为k=1，2，…若经过k次反射，A成的像与B成的像重合，则qpq ) 1 2 ( 2 ) 1 2 (--=+ k k 即qp 2= k 当 4 45 2pq== o 时，k=4，有7个像，如图1-2-9（a）所示；当 3 60 2pq== o 时，k=3，有5个像，如图1-2-9（b）所示；当 3 2 120 2pq== o 时，k=1.5，不是整数，从图1-2-10（d）可直接看出，物P经镜A成的像在镜B面上，经镜B成的像则在镜A面上，所以有两个像。例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO和BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图1-2-11所示。图中带箭头的圆圈P代表一个人的头部（其尺寸远小于OC的长度），白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图1-2-11为俯视图，若两平面镜的夹角∠AOB=72º，设人头的中心恰好位于角平分线OC上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。1、1、试在图1-2-11中标出P的所有像的方位示意图。2、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子）。本题只要求画出示意图，但须力求准确。图 1­2­13 AB P O 图 1­2­12 A B C P O 图 1­2­10 A O C P 图 1­2­11高中物理竞赛光学教程第一讲几何光学解:本题的答案如图1-2-13所示。例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图1-2-14所示。棱镜用玻璃制成，BC、CD两平面高度抛光，AB、DE两平面高度抛光后镀银。试证明：经BC面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在AB与DE面上），与之相应的由CD面出射的光线，必与入射光线垂直。解:如图1-2-15所示，以i表示入射角, i¢表示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的a点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出射。可以看得出，在DE面的b点；入射角为 o r i 5 . 22 1 2+=反射角为 o r i i 5 . 22 1 2 2+==¢在四边形bEAC中， 1 1 2 5 . 67 5 . 22 90 90 r r i a o o o o-=--=¢-=而 ) 5 . 67 ( 135 5 . 112 2 360 1 0 r a o o o--=-´-=b= 1 5 . 67 r o+于是， 1 3 3 5 . 22 90 r i i o o-=-==¢b在△cdb中∠cdb=180º ) ( ) ( 3 3 2 2¢+-¢+- i i i i =180º 0 1 1 90 ) 5 . 22 ( 2 ) 5 . 22 ( 2=--+- r r o o 这就证明了：进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。由于棱镜的C角是直角， 1 r =360º-270º-∠dec=90º-∠dec= 1 i 。设棱镜的折射率为n，根据折射定律有 1 1 sin sin r n i= 4 4 sin sin i n r= 1 4 4 1 , i r i r=\=Q总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角 1 i 的大小无关。只要光路符合上面的要求，由BC面的法线与CD面的法线垂直，又有\= , 4 1 r i 出射光线总是与入射光线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角——90º。例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图1-2-16所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面A进入的光全部从表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射为1.5。分析:如图1-2-17所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射 C A E B D 112.5º 112.5º 112.5º 90º图1-2-14 i1 A B C D E 112.5º112.5º 112.5º 90ºγ1 i2 i2 i3 i3 45º i4 γ4 F 图1-2-15 A B R d 图1-2-16高中物理竞赛光学教程第一讲几何光学角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角α最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内