高中物理竞赛辅导__相对论初步知识

相对论初步知识相对论是本世纪物理学的最伟大的成就之一，它标志着物理学的重大发展，使一些物理学的基本概念发生了深刻的变革。狭义相对论提出了新的时空观，建立了高速运动物体的力学规律，揭露了质量和能量的内在联系，构成了近代物理学的两大支柱之一。§2.  1 狭义相对论基本原理 2、1、1、伽利略相对性原理 1632 年，伽利略发表了《关于两种世界体系的对话》一书，作出了如下概述：相对任何惯性系，力学规律都具有相同的形式，换言之，在描述力学的规律上，一切惯性系都是等价的。这一原理称为伽利略相对性原理，或经典力学的相对性系原理。其中“惯性系”是指凡是牛顿运动定律成立的参照系。 2、1、2、狭义相对论的基本原理 19 世纪中叶，麦克斯韦在总结前人研究电磁现象的基础上，建立了完整的电磁理论，又称麦克斯韦电磁场方程组。麦克斯韦电磁理论不但能够解释当时已知的电磁现象，而且预言了电磁波的存在，确认光是波长较短的电磁波，电磁波在真空中的传播速度为一常数，秒米/ 10 0 . 3 8´= c ，并很快为实验所证实。从麦氏方程组中解出的光在真空中的传播速度与光源的速度无关。如果光波也和声波一样，是靠一种媒质（以太）传播的，那么光速相对于绝对静止的以太就应该是不变的。科学家们为了寻找以太做了大量的实验，其中以美国物理学家迈克耳孙和莫雷实验最为著名。这个实验不但没能证明以太的存在，相反却宣判了以太的死刑，证明光速相对于地球是各向同性的。但是这却与经典的运动学理论相矛盾。爱因斯坦分析了物理学的发展，特别是电磁理论，摆脱了绝对时空观的束缚，科学地提出了两条假设，作为狭义相对论的两条基本原理： 1、狭义相对论的相对性原理在所有的惯性系中，物理定律都具有相同的表达形式。这条原理是力学相对性原理的推广，它不仅适用于力学定律，乃至适合电磁学，光学等所有物理定律。狭义相对论的相对性原理表明物理学定律与惯性参照系的选择无关，或者说一切惯性系都是等价的，人们不论在哪个惯性系中做实验，都不能确定该惯性系是静止的，还是在作匀速直线运动。 2、光速不变原理在所有的惯性系中，测得真空中的光速都等于 c，与光源的运动无关。迈克耳孙—莫雷实验是光速不变原理的有力的实验证明。事件任何一个现象称为一个事件。物质运动可以看做一连串事件的发展过程，事件可以有各种具体内容，如开始讲演、火车到站、粒子衰变等，但它总是在一定的地点于一定时刻发生，因此我们用四个坐标（x，y，z，t）代表一个事件。间隔设两事件（ 1 1 1 1 , , , t z y x ）与（ 2 2 2 2 , , , t z y x ），我们定义这两事件的间隔为()()()() 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 z z y y x x t t c s-------=间隔不变性设两事件在某一参考系中的时空坐标为（ 1 1 1 1 , , , t z y x ）与（ 2 2 2 2 , , , t z y x ），其间隔为高中物理竞赛原子物理学教程第二讲相对论初步知识()()()() 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 z z y y x x t t c s-------=在另一参考系中观察这两事件的时空坐标为（ ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 , , t z y x ，）与（ ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 , , t z y x ，），其间隔为()()()() 2 ' 1 ' 2 2 ' 1 ' 2 2 ' 1 ' 2 2 ' 1 ' 2 2 ' 2 z z y y x x t t c s-------=由光速不变性可得 ' 2 2 s s=这种关系称为间隔不变性。它表示两事件的间隔不因参考系变换而改变。它是相对论时空观的一个基本关系。 2、1、3、相对论的实验基础斐索实验上世纪人们用“以太”理论来解释电磁现象，认为电磁场是一种充满整个空间的特殊介质——“以太”的运动状态。麦克斯韦方程在相对以太静止的参考系中才精确成立，于是人们提出地球或其他运动物体是否带着以太运动？斐索实验（1851 年）就是测定运动媒质的光速实验。其实验装置如图 2—1 所示；光由光源 L 射出后，经半透镜 P 分为两束，一束透过 P 到镜 1 M ，然后反射到 2 M ，再经镜 3 M 到 P，其中一部分透过 P 到目镜 T。另一束由 P 反射后，经镜 3 M 、 2 M 和 1 M 再回到 P 时，一部分被反射，亦到目镜 T。光线传播途中置有水管，整个装置是固定于地球上的，当管中水不流动时，两光束经历的时间相等，因而到达目镜中无位相差。当水管中的水流动时，两束光中一束顺水流传播，一束逆水流传播。设水管的长度皆为 l，水的流速为 v，折射率为 n，光在水中的速度为 n c 。设水完全带动以太，则光顺水的传播速度为 v n c+，逆水为 v n c-；若水完全不带动以太，光对装置的速度顺逆水均为 n c ；若部分被带动，令带动系数（曳引系数）为 k，则顺水为 kv n c+，逆水为 kv n c-，k 多少由实验测定，这时两束光到达目镜 T 的时差为 2 4 2 2÷øöçèæ»+--=D n c lkv kv n c l kv n c l t M2 M3 l T L M1 P 图 2­1­1高中物理竞赛原子物理学教程第二讲相对论初步知识斐索测量干涉现象的变化，测得 n k 1 1-=，所以光在介质参考系中的传播速度为q cos 1 1 v n n c u÷øöçèæ-+=式中θ是光线传播方向与介质运动方向间的夹角。现在我们知道，匀速运动介质中的光速可由相对论的速度合成公式求得，设介质（水）相对实验室沿 X 轴方向以速度 v 运动，选 's 系固定在介质上，在 's 上观察，介质中的光速各方向都是 n c ，所以光相对实验室的速度 u 为 cn v v n c c v n c v n c u++=×++= 1 1 2÷øöçèæ-÷øöçèæ+» cn v v n c 1 2 n v v n c-+»÷øöçèæ-+= 2 1 1 n v n c 。由此可知，由相对论的观点，根本不需要“以太”的假说，更谈不到曳引系数了。迈克尔孙—莫来实验迈克尔孙—莫来于 1887 年利用灵敏的干涉仪，企图用光学方法测定地球的绝对运动。实验时先使干涉仪的一臂与地球的运动方向平行，另一臂与地球的运动方向垂直。按照经典的理论，在运动的系统中，光速应该各向不等，因而可看到干涉条纹。再使整个仪器转过900，就应该发现条纹的移到，由条纹移动的总数，就可算出地球运动的速度v。迈克尔孙—莫来实验的装置如图2-1-2所示，使一束由光源S射来的平行光，到达对光线倾斜450角的半镀银镜面M上，被分成两束互相垂直的相干光。其中透射部分沿 2 MM 方向前进，被镜 2 M 反射回来，到M上，再部分地反射后沿MT进行；反射部分沿 1 MM 方行进行，被镜反射回来后再到达M上，光线部分透过，也沿MT进行。这两束光在MT方向上互相干涉。而在T处观察或摄影，由于 2 MM 臂沿着地球运动方向，臂 1 MM 垂直于地球运动方向，若 2 MM = 1 MM =l，地球的运动速度为v，则两束光回 M S T M1 M2 图 2­1­2高中物理竞赛原子物理学教程第二讲相对论初步知识到M点的时间差为 2÷øöçèæ=D c v c l t当仪器绕竖直轴旋转 90 0 角，使 1 MM 变为沿地球运动方向， 2 MM 垂直于地球运动方向，则两束光到达M的时差为 2 '÷øöçèæ-=D c v c l t我们知道，当时间差的改变量是光波的一个周期 1 T 时，就引起一条干涉条纹的移动，所以，当仪器转动900后，在望远镜 T 处看到的干涉条纹移动的总数为 2 2 1 ' 2 c v l T t t N×=D-D=Dl，式中λ是波长，当 l=11 米，秒米秒，米 / 10 3 / 10 3 8 4´=´= c v ，所用光波的波长米时， 7 10 9 . 5-´=l则△N≈0.4，这相当于在仪器旋转前为明条纹，旋转以后几乎变为暗条纹。但是他们在实验中测得△N≈100 1 ，而且无论是在白天、夜晚以及一年中的所有季节进行实验，始终得到否定的结果，就是说光学的方法亦测不出所在参考系（地球）的运动状态。§2、2 伽利略变换 2、2、1伽利略变换（1）如图 2­2­1 所示，有两个惯性系 S 和 ' S ，它们对应的坐标轴相互平行，且当 t= ' t =0 时，两系的坐标原点 ' O 与 O 重合。设 ' S 系相对于 S 系沿 x 轴正方向以速度 u 运动。同一质点 P 在某一时刻在 S 系中的时空坐标为(x,y,z,t)，在 S`系中的时空坐标为（x’,y’,z’,t’） zˊ z ut y yˊ O Oˊ P(x,y,z) (x’,y’,z’) u v图 2­2­1高中物理竞赛原子物理学教程第二讲相对论初步知识ïïîïïíì===-= t t z z y y ut x x ' ' ' ' 即 t u r r vvr-= ' 或 (1) x=x ' ＋ｕｔïîïíì=== ' ' 't t z z y y 即 t u r r vvv+= ' 式（1）称为伽利略时空坐标变换公式。（２）将式（1）中的空间坐标分别对时间求一次导数得：ïïïîïïïíì====-=-== z z y y x x v dt dz v v dt dy v u v u dt dx dt dx v ' ' ' ' ' ' 即 u v v-=vv ' 或ïïïîïïïíì======+=+== z z y y x x v dt dz dt dz v v dt dy dt dy v u v u dt dx dt dx v ' ' ' ' ' 1 即 u v v vvv¢+¢=（2）式（2）称为伽利略速度变换公式。（3）将式（2）再对时间求一次导数得ïïïîïïïíì==¢=¢==¢=¢==¢=¢ z z z z y y y y x x x x a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a 即 a a vv=¢高中物理竞赛原子物理学教程第二讲相对论初步知识ïîïíì¢=¢=¢= z z y y x x a a a a a a a a vv¢=（3）式（3）表明在伽利略变换下加速度保持不变。式（3）称为伽利略加速度变换公式。 2、2、2 经典力学的时空观（1） t=t¢，或Δt=Δ t¢（4）（2）Δ r¢= 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z z y y x x z y x-+-+-=D+D+D，Δ r¢= 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z z y y x x z y x-+-+-=D+D+D。因 , , ) ( ) ( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y y y y x x ut x ut x x x-=¢-¢-=---=¢-¢ r r z z z zD=¢D-=¢-¢所以 , 1 2 1 2 （5）式（4）表明：在伽利略变换下，任何事件所经历的时间有绝对不变的量值，而与参照系的选择（或观测者的相对运动）无关。式（5）表明：在伽利略变换下，空间任何两点间的距离也有绝对不变的量值，而与参照系的选择测得的同一事件的时间间隔和空间任意两点间的距离都是绝对的不变量。这就是经典力学的时空观或者称之为绝对时空观。用牛顿本人的话来说：“绝对的真实的数学时间，就其本质而言，是永远均匀地流逝着，与任何外界事物无关。”“绝对空间就其本质而应是与任何外界事物无关的，它从不运动，并且永远不变。”按照这种观点，时间和空间是彼此独立、互不相关，并且独立于物质和运动之外的某种东西。 2、2、3、力学规律在伽利略变换下的不变性（1）伽利略变换下的牛顿第二定律在 s 系中， a m F¢=åvr在 S¢系中， a m F¢=¢åvr（6）（2）伽