函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中存在性和任意性问题分类解析1.，，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即.例1已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（）解设函数与在上的值域分别为与，依题意.当时，，则，所以在上单调递增，所以即.当时，，所以单调递，所以即.综上所述在上的值域.当时，，又，所以在在上单调递增，所以即，故在上的值域.因为，所以或解得，故应选.2.对，，使得，等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即.例2(2011湖北八校第二次联考)设，.①若，使成立，则实数的取值范围为＿＿＿;②若，，使得，则实数的取值范围为＿＿＿解①依题意实数的取值范围就是函数的值域.设，则问题转化为求函数的值域，由均值不等式得，，故实数的取值范围是.②依题意实数的取值范围就是使得函数的值域是函数的值域的子集的实数的取值范围.由①知，易求得函数的值域，则当且仅当即，故实数的取值范围是.例3已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.(1)求的单调区间;(2)若，且，函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围.解(1)略;(2)依题意实数的取值范围就是使得在区间上的值域是的值域的子集实数的取值范围.当时，由得，故在上单调递减，所以即，于是.因，由得.①当时，，故在上单调递增，所以即，于是.因为，则当且仅当，即.②当时，同上可求得.综合①②知所求实数的取值范围是.3.已知是在闭区间的上连续函，则对使得，等价于.例4已知，其中.(1)若是函数的极值点，求实数的值;(2)若对任意的都有成立，求实数的取值范围.解(1)略;(2)对，有，等价于有.当时，，所以在上单调递增，所以.因为，令得，又且，.①当时，，所以在在上单调递增，所以.令得这与矛盾。②当时，当时，当时，所以在上单调递减在上单调递增，所以.令得，又，所以。③当时，，所以在上单调递减，所以.令得，又，所以。综合①②③得所求实数的取值范围是。另解同上求得，要证时，，即.由上知求需对参数进行分类讨论过程繁而长，其实可避免分类讨论，不等式恒成立问题往往转化最值问题来解决，逆向思维，由于难求，将退回到恒成立问题:证时，即恒成立，只需证当时，恒成立，只需证.因为，令得.当时，当时，故，所以，故所求实数的取值范围是。点评这里“另解”将不等式恒成立问题与最值问题的单向转化变成双向转化，将一个需要分类讨论的最值问题转化为另一个不需要分类讨论的最值问题.练习：已知函数，，若函数的图象经过点，且在点处的切线线恰好与直线垂直.(1)求的值;(2)求函数的在上最大值和最小值；（3）如果对任意都有成立，求实数的取值范围.4.若对，，使，等价于在上的最小值不小于在上的最小值即（这里假设存在）。例5(2010年山东)已知函数.(1)当时，讨论的单调性;(2)设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.解（1）略；（2）依题意在上的最小值不小于在上的最小值即，于是问题转化为最值问题.当时，，所以，则当时，;当时，，所以当时，.，①当时，可求得，由得这与矛盾.②当时，可求得，由得这与矛盾.③当时，可求得，由得.综合①②③得实数的取值范围是.