搜索
.精选方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2-最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。例1四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。例2有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数.精选×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。例3.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。例4:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？.精选解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。（14-3）×3×4=132（个）答：摆这个方阵共需132个围棋子。【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？解析：依据：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1可知每边的人数是：142)127(（人）原人数是：1961414（人）【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？解析：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数因为1001010（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10人。例5一堆棋子排成一个实心方阵，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？还剩下多少只棋子？解题分析排成方阵的棋子，无论排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，无论去掉哪一行和哪一列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。另外，要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子的总数，然后减去去掉的棋子数，就是剩下的棋子数。解：（1）去掉多少只棋子？8×2-1=15（只）（2）还剩多少只棋子？8×8-15=49（只）答：要去掉15只棋子，还剩下49只棋子。例6育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人。育英小学四年级有多少人？解题分析排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原.精选来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数。因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人。解：（1）原来方阵中每排有多少人？（5+26-1）÷2=15（人）（2）四年级共有多少人？15×15+5=230（人）答：育英小学四年级有230人。例7：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1解：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝172)133(人方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为2891717（人）【巩固】参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示。因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1，或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1。本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人）或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人）还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人）或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人）·························.精选答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。例8同学们排成一个三层的空心方阵。已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？解题分析要求出这个方阵有多少人，就要先示出这个方阵最外层每边多少。已知最内层每边有6人，又知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（3-1）×2人，即10人。又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数-层数）×层数×4，即可求出这个方阵共有多少人。解：[6+（3-1）×2-3]×3×4=84（人）答：这个方阵共有84人。例9.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×4=144(个)答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。例10：解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。（1）中实方阵总人数：12×12=144（人）（2）第四层每边人数：12-2×（4-1）=6（人）（3）空心方阵人数：（6-2）×（6-2）=16（人）（4）中空方阵人数：144-16=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=外边人数×外边人数-（内边人数-2）×（内边人数-2）解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人）（2）每个长方形的宽是层数：4人（3）总人数：8×4×4=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）×层数×4.精选【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？解析：依据求外层个数的公式：（边数-1）×4244)17(（面）例11：一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解析：①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为：17129（棵）。②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：483)117(（棵）。③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为：729（棵）解：大三角形三条边上共栽花：483)1129(（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：213)29(（棵）整个花坛共栽花：692148（棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。例12.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?.精选分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。(2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(5×2-1)×3-3=24(棵)(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)×3=12(棵)(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵)答:大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。