搜索
铜陵职业技术学院学报２０１６年第１期例谈高等数学知识在工程问题中的应用周同，杜珍珍（铜陵职业技术学院，安徽铜陵２４４０００）摘要：高等数学是高职院校多数专业的一门公共基础课和工具课，它在工程技术和经济管理等学科中应用十分广泛。高职数学培养学生的应用能力和创新能力，使学生能够运用所学知识解决实际问题。文章针对高职院校工科类专业特点，举例讨论高等数学知识在工程问题中的应用。关键词：高等数学；工程问题；导数；积分中图分类号：０１３文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－７５２Ｘ（２０１６）０１－００７３－０３１．引言解：该产品的长期销售量应为时间ｔ—＋〇〇时的数学作为一门基础学科，它在自然科学、工程销售量，即求极限技术和经济管理学等多学科中都有广泛的应用，其ｌｉｍ．（Ｑ＝ｌｉｍ１〇〇〇／教学目的是为学生学习专业课提供必要的理论知识＿＞／和思想方法。高职数学应重视数学应用，培养学生＃１０００，．１０００利用所学知识解决实际问题的能力。在工程技术日．ｈｋｋ），．７￣〇ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝＝＝０益发达的今天，利用数学方法去研究工程问题已是Ｍ？２；２＋５０Ｍ＋ｌ＋ｇｌｉｍ（２＋５＾２＋０无处不在，数学已经成为研究工程问题的一个重要ｆ（１工具。下面将酣具体的几个实例介绍高等数学在ｇｐ＾ｔ－＋〇ｃｌ＾，是说，人们购买游戏会越来越少，从而转向购买新２极限的应用兑日月權是高等数学的職細輔本誠部分，１它的思想將于整个高等数学教学过程之中。腳＃＞Ｊ２：ｒｕｆｆｅｄ极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的＝一种数学思想。极限思想来源于社会实践，例如，Ｘｃ＝＾，ＸＬ＝２ｎｆＬ我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆其中常量ＣＬ分别代表电容值：和电竭值／面积的方法－－酬术，就是极限思想在几何損＞〇是交流电的频率。试计算＾ｃ，烈尤，；；＾：，应用。如今，我彳Ｉ］可以利用极限思想解决很多工程ｌｉｍＡ甘阐明其物理竞义中的问题，下面我们以几个具体的例子来探讨。解［由极限的计算５知例１：当推出一种新的电子游戏程序时，在短１：＿＼＾期内销售量会迅速增加，然后开始下降，其函数＊ｂ兩＝〇，其物理系为冰）＝＾Ｓ（ｔ为月份）。若要对该产品的长期意义说明电容元件有“阻低频＇通高频”的作用；销售作出预测，试建立相应的表达式。义＝／ｉｓ＞２ｉ＾＝＋ｏ°，其物理收稿日期＝２０１５－１２－１７作者简介：周同（１９８３－），男，安徽枞阳人，铜陵职业技术学院基础部教师；杜珍珍（１９８４－），女，安徽临泉人，铜陵职业技术学院基础部教师。？７３．DOI牶牨牥牣牨牰牱牳牴牤j牣cnki牣牨牰牱牨牠牱牭牪x牣牪牥牨牰牣牥牨牣牥牪牪意义说明电感元件有“阻高频、通低频”的作用。这样，问题就转化为求函数Ｓ在（〇，Ｖ）内的３．导数的应用最小值。对关于求导，得导数来源于现实问题，它在生产、生活中具有＝￥令＝得唯一驻点重要的应用价值，并在化学、物理、生物、天文、’，麵及经腾各种科学賴和生活獅巾都有广泛ｓ＊（０，Ｖ）ｒｔ＾的应用。值，故最小值必在该唯一驻点处取得。将（１）函数的最值３｜■厂ｙｓｒｙ－＾在工程技术、工农业生产、经济管理及科学实代入中，得。这就是验中，经常需要解决在－定条件下，怎样使用料ｓ说，若易拉罐的体积一定，则当其底麵半径与高省、效率最局、成本最低、设计最优、强度取大等之比为１．２时用料最省。问题。从导数产生的背景，和导数的意义可知，导数是求函数最大（小）值的有力工具。在工程技术中，常常需要考虑曲线的弯曲程例３：（房屋梁的最彳滅ｉｔ）在建造房屋时’度，難，在冊誠公路及铁細弯綱，必须经常要考虑房Ｍ的设计＿。醜面为矩關考虑賴处的弯随；在房雖造巾醜梁，机床梁，其强度与矩形綱平方和細乘积成正比，用的＿等，它赃荷■用下要产生弯曲变形，在直径为ｄ的圆木作矩形梁，问高和宽各为多少时＃自计时，对它们的弯曲程度必须有一定的限制这就要定量地研究它们的弯曲程度，数学上常用“曲率”这一概念来描述曲线的弯曲程度。／／、＼设ｙ＝／（ｘ）具有二阶导数，则曲线ｙ＝／（ｘ）在点！ｄ／ｙ＇（Ｘ，ｙ）处的曲率计算公式为ｖ／ｓ＼Ｊ為１Ｓ［１＋（／）２］２解：如图所示，设矩形梁的宽为Ｘ，高为ｙ，则ｐ横梁强度函数为／（ｘ）＝ｋｘｙ２（ｋ为比例系数）例５：（拱桥承受压力问题）设一辆质量为ｍ的又由勾股定理得：／＝，－ｘ２，汽车以速度ｖ经过如图所示的抛物线拱桥，该桥的贝ｉｊ／⑷＝－ｘ２），（０＜ｘ＜ｒｆ）跨度为Ｌ米，高为ｈ米，试问汽车驶过顶点０时，对所以／＇⑷＝咐２－３？），令／＇Ｗ＝０，得唯一驻桥的压力多大？ｊ－Ｖ３，＾ｘ＝—ｄ歐由题可知，当宽为高为时＃ｒｆ时’梁ＢＩ，＾〇＾的强度域大。＾７＼ｒ例４：（易拉賴设计）易拉罐在我们生活中随处可见，企业Ｍｉ＋Ｍ娜时，为了顯小賊本获得最大的利润，需要考虑在体积一定的情况下丨用料最省的问题。那么应如何设计其底面半径和高解：由物理学知识可知，质量为ｍ的质点，以才目ｇ使用料取省？４＿解：用料最省也就是使易拉罐的表面积最小，设易拉罐的底面圆半径为ｒ，高为ｈ，表面积为Ｓ，体Ｓ的向尤、力为＾二。，ＷｌＳ＝２ｎｒ２＋２ｎｒｈ若质点沿曲线ｙ＝／（ｘ）运动，我们可用该点的由得Ａ＝将其代入上式，得：曲率圆弧代替其附近的曲线段，因此，质点在曲线Ｓ＝２ｎｒ２＋＾，（〇＜ｒ＜Ｖ）上某点的所受的向心力为Ｗ其中ｐ为曲线在该ｒｐ５？７４？为此．取坐标系如上图，建立拱桥的曲线方分的概念，并发现了积分与导数之间的内在联系，程，已知拱桥形状为抛物线，所以设为＞■＝－？￥给出了汁算定积分的一般方法，从而使定积分成为－４ｈ解决有关实际问题的有力工具。又因为该抛物线过点（２’Ｗ，所以＝，，、－Ｌ—．４Ａ＾丄１（１）计算液体的压力故少＝＿７Ｔ．ｒ。由此可得：－＠，从物理学知道，在液体深为ｈ处的压强为ｐ＝ｐｇｈ，其中ｐ是液体的比重。若一面积为Ｓ的平板水而在顶点０处，ｘ＝０’也即／＝０，所以得在该点＆平放置在液体深为ｈ处，则平板－侧所受的压力的曲率为尺＝丨’丨＇ｒ＝＿，故在该点处的曲率半Ｆ＝ＰＳ＝ＰｇｈＳ。［１＋（／）２］２若一平板垂直放置在液体屮，由于深度不同处径为ｐ＝ｊ＿＝！Ｌａ的压强不相等，故平板一侧所受的压力就不能如上Ｋｕ；计算，但可用微元法化成定积分计算。所以汽车经过０点时所受的１４心力为，例７：有一储油罐，装有比重为０．９６ｘ１０３而汽车对桥面的压力Ｆ＝重力－向心力，所以过点桥ｋｇ／ｍ３的油料，罐的下部有一直径为０．７６米的圆面所受的压力为ｆ＝ｍ８ｍｖ＾孔入口，孔的中心离液面６．８米，求孔挡板上的＾／２压力。例ｆｉ：设工件表面的截线为抛物线ｙ＝〇．４ｘ２，现解：建立如图所示＇．＇１—＿＿在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才的坐标系，圆孔边界方６．８ｍ比较合适？程为：Ｘ２＋ｙ２＝〇．３ｆ［１选ｙ为积分变量，对＾＼．Ｖ１＝ＨＹ＇应小区间［ｙ，ｙ＋ｄｙ］上小挡＼／板上的压力为：＼／ＡＦ？ｐｇ？（６．８－ｙ）－２ｘ■ｄｙＱ／＝２ｘ０．９６ｘ１０３ｘ９．８ｘ（６．８－＞＇）ｘ＾０．３８２－ｙ２ｄｙ所以挡板上的压力为：＿Ｆ＝２ｘ〇．９６ｘｌ〇３ｘ９．８ｘＪ１：：（６．８－ｙＸ／〇．３８２－／办０ｘｋ丄……，，，，，十，本，＝４ｘ０．９６ｘ１０３ｘ９．８ｘ６．８ｆ＂＾Ｊ〇．３８２－ｙ１ｄｙ解：在磨削弧形工件时，为了不使砂轮与工ＬＶ件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半＝４ｘ０．９６ｘｌ０３ｘ９．８ｘ６．８ｘｉｘ０．３８２径应不大于弧形工件上各点处曲率半径屮的最小ｓ２９０１１ｇ；Ｖ值，由于抛物线在其顶点处的曲率半径最小，因、＋ａｉ，（２）连续函数的平均值此，只要求出抛物线ｙ＝（＞．４ｘ－在其顶点０（０’０）处的我们知道：ｎ个数Ｗ．，ｈ的算术平雌为：曲率半径即可。－Ｍ計．．凡４。由３／＝０取，＝０．８，有，Ｕ＝〇，／｜？。＝０．８，所以产－－＝－２．．＾“丨’丨３＝０．８在工程技术及自然科学中，不仅需要计算有限［！＋（／）２ｒ］个数值的算术平均值，而且也经常要计算一个连续故抛物线顶点处的曲率半径为Ｐ＝Ｙ＝＆＝Ｉ．２５函数／（ｘ）在某个区间［ａ，ｂ］上所取得的一切值的平所以选用砂轮的半径不得超过１．２５单位长，即直径均值，如平均温度、平均速度＇平均压强、平均电不得超过２．５单位长比较合适。动势、平均功率及平均电流强度等，下面给出计算４．积分的应用连续函数／（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上的平均值。定积分起源于求图形的面积和体积等实际问根据定积分的定义，可得连续函数＂７）在区题。１７世纪中叶，牛顿和莱布尼茨先后提出了定积间［ａ，ｂ］上的平均值：（下转第８１页）？７５？的身体健康。参考文献：（２）安全可靠。从使用对象的安全角度考［１］高永恒．多功能中老年代步车［Ｐ］．中国专利：ＣＮ２６１９６虑，此代步车使用控制器，可智能地调节速度、〇８，２〇〇４：６９＿进行制动和加速处理。代步车设计为三轮结构，［２］于文麒．健身代步车［Ｐ］．中国专利：ＣＮ２４２２２２４，２〇０１：〇３７．结构平稳；有防后倾辅助轮，在车辆上斜坡时可Ｗ＿＿Ｍ４Ｍ＿ｉ＾ｍｊＳ＿：Ｃ：Ｎ２５８９３２５，避免车身重心后移，充分保证使用者的安全。ｕ．，，＾＾＋＾＾＾＾＾＾［４］陈光华．结构改进的电动代步车［Ｐ］．中国专利：ＣＮ２４９（３）探作方便。起停时，只需要扳动操〇〇〇〇２００２－５８［５］王盛学．电动代步车的结构设计分析与开发［Ｄ］．重庆：（４）高效节能。电池的充电效率较高，一重庆大学，２００７．次充满电可连续行驶儿十公里，电池寿命长，使［６］郑国章．电动代步车差速转向系统的研究和开发［Ｄ］．重用此老年代步车经济实惠。庆：重庆大学，２〇〇７：６．５［７］陈安红．电动汽车电机驱动控制系统研究［Ｄ］．西安：长本文详细介绍了针对腿脚不便的中老年人及＆Ａ＃’２Ｗ）６：５３１＇一士，ｍ一丄，！，，十．［８］ＹｅｈＴＰ，ＶａｎｃｅＪＭ．ＡｐｐｌｙｉｎｇＶｉｒｔｕａｌＲｅａｌｉｔｙ残疾人利用的一种代步车的基本结构和功能原ＴｕｔＤＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓｔｏＳｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ－ＢａｓｅｄＳｔｒｕｃｔｕｒａｌＳｈａｐｅ理。该代步车可以实现电动驱动也可以实现甲动Ｄｅｓｉｇｎｍ．ｊ０ｕｒｎａ丨〇ｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＤｅｓｉｇｎ，Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ驱动，同时，在电量较低的情况下可以实现电动ｏｆｔｈｅＡＳＭＥＪ９９８，（１２０）：６２卜６１９．和手动同时驱动运行。该代步车的设计、实现可以极大地解决了广大中老年人和腿脚有残疾人的外出出行。（责任编辑：朱明星）（上接第７５页）这表明，经过半波整流后的平均电动势等于电ｙ＝ｌｉｍ＊一Ｙ／（＾．）Ａｙ＝—＊—［