高数公式大全

1高等数学公式导数公式：基本积分表：kdxkxC（k为常数）11uuxxdxCu1lndxxCx21arctan1dxxCx21arcsin1dxxCxcossinxdxxCsincosxdxxC221sectancosdxxdxxCx221csccotsindxxdxxCxsectansecxxdxxCcsccotcscxxdxxCxxedxeClnxxaadxCa两个重要极限：三角函数公式：sin22sincos2222cos22cos112sincossin22sincos122sec1tan22(tan)sec(cot)csc(sec)sectan(csc)csccot()ln1(log)lnxxaxxxxxxxxxxaaaxxa22221(arcsin)11(arccos)11(arctan)11(arccot)1xxxxxxxx0sinlim11lim(1)xxxxxex2零点定理：设函数fx在闭区间,ab上连续，且0fafb，那么在开区间,ab上至少一点，使0f。（考点：利用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性）罗尔定理：如果函数fx满足三个条件：（1）在闭区间,ab上连续；（2）在开区间,ab内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即fafb，那么在,ab内至少有一点ab，使得'0f。（选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证明题）拉格朗日中值定理：如果函数fx满足（1）在闭区间,ab上连续；（2）在开区间,ab内可导，那么在,ab内至少有一点ab，使等式fbfafba成立。（证明题）定积分应用相关公式函数的平均值1bayfxdxba空间解析几何和向量代数：空间两点的距离22212211212dMMxxyyzz向量b在向量a方向上的投影Prjcos,abbab设,,xyzaaaa，,,xyzbbbb，则两向量的数量积cosxxyyzzababababab是一个数，为a与b的夹角；a与b的夹角222222cosxxyyzzxyzxyzabababaaabbb。两向量的向量积xyzxyzijkabaaabbb，sinabab。（考点：利用向量积求三角形的面积）3平面的方程：1、点法式方程：0000AxxByyCzz，其中,,nABC为平面的法线向量，0000,,Mxyz为平面上的一点。2、一般式方程：0AxByCzD，其中平面的一个法线向量,,nABC。3、截距式方程：1xyzabc，,,abc为平面在,,xyz轴上的截距。平面外任意一点到该平面的距离：000222AxByCzDdABC。、空间直线的方程：1、直线的点向式方程（对称式方程）000xxyyzztmnp，其中直线的一方向向量,,smnp；2、直线的参数方程：000xxmtyyntzzpt多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，　　，　隐函数＋，　　，　　隐函数隐函数的求导公式：　　　　时，，当　　　　　　　　：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：　　　全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22微分法在几何上的应用：4),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：　　　　　　　不确定时值时，　　　　　　无极为极小值为极大值时，则：　　，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx曲线积分：)()()()()](),([),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL　　特殊情况：　　则：　　的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧5。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()coscos()}()](),([)()](),([{),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL三个常用的正项级数：1、等比级数11nnaq当1q时，该级数收敛于1aq；当1q时，该级数发散。2、p级数11pnn当1p时，该级数收敛；当1p时，该级数发散。特别地，当1p时，11nn称为调和级数。级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim12116。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：时收敛１时发散ｐ　　级数：　　收敛；　　级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散时，收敛于　　函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：7)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm　　　　　　微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。　　得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：82122,)(2,,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中式的通解：出的不同情况，按下表写、