高等数学下册期末考试试题及答案-

第1页共2页高等数学(下册)期末考试试题【A卷】考试日期：2013年6月院（系）别班级学号姓名大题一二三四五六七八总分12345得分一、填空题：（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．已知向量a、b满足0ab，2a，则abrr．2．若将函数1()2fxx展为x的幂级数，则()fx，x．3．曲面229xyz在点(1,2,4)处的切平面方程为．4．设()fx是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为()fxx，则()fx的傅里叶级数在3x处收敛于，在x处收敛于．5．设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lxyds．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．平面260xyz与直线234112xyz的交点坐标为（）A、（1，1，2）B、（2，3，4）C、（1，2，2）D、（2，1，1）2．若函数),(yxf在区域D内偏导数存在，则结论正确的是（）A、必有xyfyxf22B、),(yxf在D内必可微C、),(yxf在D内连续D、以上都不对3．二重积分DyxyxDdyxfI1|),(,),(22其中，则可将I化为累次积分（）A、dyyxfdxx),(21011B、dyyxfdx),(1111C、221111(,)xxdxfxydyD、2100(cos,sin)dfrrdr4．设为立方体：10x，10y，10z，则zyxyxddd2（）第2页共2页A、81B、61C、41；D、315、下列命题中正确的为（）A、若级数1nnu收敛，则级数11nnu必定收敛。B、若级数1nnu收敛，则级数)2(1nnu必定收敛。C、若级数1nnu收敛，则级数1||nnu必定收敛。D、若级数21nnu收敛，则级数1nnu必定收敛。三、解下列各题：（本题共5小题，每小题6分，满分30分）1．求曲线2222222393xyzzxy在点0M(1,1,2)处的切线及法平面方程．2．求由曲面2222zxy及226zxy所围成的立体体积．3．判定级数11(1)lnnnnn是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4．设(,)sinxzfxyyy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxxy．5．计算曲面积分,dSz其中是球面2222xyza被平面(0)zhha截出的顶部．四、（本题满分8分）抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求此椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．五、（本题满分8分）计算曲线积分(sin)(cos)xxLeymdxeymxdy，其中m为常数，L为由点(,0)Aa至原点(0,0)O的上半圆周22(0)xyaxa．六、（本题满分8分）第3页共2页计算曲面积分332223(1)Ixdydzydzdxzdxdy，其中为曲面221(0)zxyz的上侧．七、（本题满分10分）求幂级数13nnnxn的收敛域及和函数．八、（本题满分6分）设函数f(x)连续且恒大于零，)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF，22()2()()()DtttfxydGtfxdx，其中}),,{()(2222tzyxzyxt，}),{()(222tyxyxtD；证明：当t＞0时，)(2)(tGtF．第4页共2页高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】参考解答与评分标准2013年6月一、填空题【每小题3分，共15分】1、4；2、011,(1,2)22nnnxx；3、2414xyz；4、3，0；5、2.二、选择题：（每小题3分，共15分）1．C2、D3、C4、B5、A三、试解下列各题【每小题6分，共30分】1、解：方程两边对x求导，得323dydzyzxdxdxdydzyzxdxdx，从而54dyxdxy，74dzxdxz…………..【3】该曲线在1,1,2处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T故所求的切线方程为1128107xyz………………..【5】法平面方程为81101720xyz即810712xyz……..【6】２、解：2222226zxyzxy222xy，该立体在xOy面上的投影区域为22:2xyDxy．…..【2】故所求的体积为Vdv222262200202(63)6dddzd……..【6】３、解：由11limlimln(1)limln(1)10nnnnnnunnn，知级数1nnu发散…………………【3】又111||ln(1)ln(1)||1nnuunn,1lim||limln(1)0nnnun.故所给级数收敛且条件收敛．【6】第5页共2页４、解：121211()0zfyfyffxyy，…………………………………【3】2111122212222211[()][()]zxxfyfxfffxfxyyyyy111222231.xfxyfffyy【6】５、解：的方程为222zaxy，在xOy面上的投影区域为2222{(,)|}xyDxyxyah．又222221xyzzaaxy，…..………【3】故2222222200xyahDdSadxdydadzaxya2222012ln()2ln2ahaaaah..【6】四、【8分】解：设(,,)Mxyz为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为222dxyz……【2】令22222(,,)()(1)Lxyzxyzzxyxyz，…………………【4】则由22220220201xyzLxxLyyLzzxyxyz，解得132xy，23z．于是得到两个可能极值点1213131313(,,23),(,,23).2222MM…………………【6】又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max2min1||953,||953.dOMdOM……【8】五、【8分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得22(sin)(cos)8xxDLOAIeymdxeymxdymdma．………………【4】而10(sin)(cos)axxOAIeymdxeymxdymdxma…………【7】221(sin)(cos).8xxLeymdxeymxdyIImama………………………【8】六、【10分】解：取1为220(1)zxy的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有133222222316Ixdydzydzdxzdxdyxyzdv………….…【4】第6页共2页2211200062ddzdz…………………….…【6】而221133221122313133xyIxdydzydzdxzdxdyzdxdydxdy….…【9】2123.III…………………….…【10】七、【8分】解：1131limlim3133nnnnnnanRan，收敛区间为(3,3)…………【2】又当3x时，级数成为11nn，发散；当3x时，级数成为11nnn，收敛．故该幂级数的收敛域为3,3………【4】令13nnnxsxn（33x），则11111111()()33331/33nnnnnxxsxxx,(||3x)……【6】于是000()()ln3ln3ln33xxxdxsxsxdxxxx，（33x）………………….【8】八、【6分】证明：分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下二重积分、定积分。因为ttttrdrrfdrrrfrdrrfddrrrfddtF020222002200022)()(2)(sin)()(，ttdrrfrdrrftG0202)()()(，……【2】要证明t＞0时)(2)(tGtF，只需证明t＞0时，0)(2)(tGtF，即0])([)()(00202222tttrdrrfdrrfdrrrf令tttrdrrfdrrfdrrrftg00202222])([)()()(，则0)()()()(2022drrtrftftgt，故g(t)在),0(内单调增加．……【4】因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)g(0)；又g(0)=0，故当t＞0时，g(t)＞0，因此，当t＞0时，)(2)(tGtF．……【6】