(甘志国)数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1运用公式法很多数列的前n项和nS的求法，就是套等差、等比数列nS的公式，因此以下常用公式应当熟记：221231123(1)2135(21)12222111111122222nnnnnnnnn还要记住一些正整数的幂和公式：2233332222)1(41321)12)(1(61321nnnnnnn例1已知数列}{na的前n项和232nnSn，求数列}{na的前n项和nT.解由232nnSn,可得nan233,160nan，所以：(1)当16n时,nT=232nnSn.(2)当17n时，512322)()()(21616161817162121nnSSSSSaaaaaaaaaTnnnnn所以2232(1,2,,16)32512(17,)nnnnTnnnnN且例2求1)2(3)1(21nnnnSn.解设2)1()1(knkknkak，本题即求数列}{ka的前n项和.)2)(1(61)12)(1(61)1()1(21)321()1)(321(2222nnnnnnnnnnnnSn高考题1(2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列21n的前n项和nS.答案：2nSn.高考题2(2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列24n的前n项和nS.答案：23nSnn.高考题3(2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列{}na中，253,81aa.(1)求na；(2)设3lognnba，求数列{}nb的前n项和nS.答案：(1)13nna；(2)22nnnS.高考题4(2014年高考重庆卷文科第16题)已知na是首项为1，公差为2的等差数列，nS表示na的前n项和.(1)求na及nS；(2)设nb是首项为2的等比数列，公比q满足244(1)0qaqS，求nb的通项公式及其前n项和nT.答案：(1)221,nnanSn；(2)2122,(41)3nnnnbT.2倒序相加法事实上，等差数列的前n项和nS的公式推导方法就是倒序相加法.例3求正整数m与()nmn之间的分母为3的所有既约分数的和S.解显然，这些既约分数为：31,32,34,,34,32,31nnnmmm有)31()32()34()34()32()31(nnnmmmS也有)31()32()34()34()32()31(mmmnnnS所以2222),(2)(2)(2mnSmnmnnmS例4设4()42xxfx，求和12320012002200220022002ffff.解可先证得()(1)1fxfx，由此结论用倒序相加法可求得答案为20012.3裂项相消法例5若}{na是各项均不为0的等差数列，求证：1113221111nnnaanaaaaaa.证明设等差数列}{na的公差为d：若0d，要证结论显然成立；若0d，得)11(1111nnnnaadaa11111113221132211111)11()11()11(1111nnnnnnnaanaanddaadaaaaaadaaaaaa例8证明222211112(123nnN且2)n.证明22221312111n11111223(1)11111111223111121nnnnn高考题5(2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列{}na的前n项和为nS，已知110a，2a为整数，且4nSS.(1)求{}na的通项公式；(2)设11nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT.答案：(1)133nan；(2)10(103)nnSn.高考题6(2014年高考广东卷文科第19题)设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，且nS满足NnnnSnnSnn,033222.(1)求1a的值；(2)求数列na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有31)1(1)1(1)1(12211nnaaaaaa.答案：(1)12a；(2)2nan；(3)当1n时，可得欲证成立.当2n时，111111(1)2(21)(21)(21)22121nnaannnnnn，再用裂项相消法可得欲证.高考题7(2014年高考山东卷理科第19题)已知等差数列}{na的公差为2，前n项和为nS，且1S，2S，4S成等比数列.(1)求数列}{na的通项公式；(2)令nb=,4)1(11nnnaan求数列}{nb的前n项和nT.答案：(1)21nan，2221221nnnnTnnn为奇数为偶数.4分组求和法例9求11111111111224242nnS.解设11111242nna，得1122nna.所以本题即求数列1122n的前n项和：111111212222422nnnnSnnan例10设数列}{na的前n项和nS满足221nnaS，又nnnSb)1(，求数列}{nb的前n项和nT.解在221nnaS中，令1n可求得11a.还可得22114(1),4(1)nnnnSaSa相减，得20)2)((22411112211nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa所以}{na是首项为1公差为2的等差数列，得12nan所以222)1(,21nbnaSnnnn当n为偶数时，2)1()12(1173])1([)43()21(222222nnnnnTn当n为奇数时，2)1()(2)1(21nnnnnbTTnnn用以上结论总之，2)1()1(nnTnn.高考题8(2014年高考北京卷文科第15题)已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b，且nnba是等比数列.(1)求数列na和nb的通项公式；(2)求数列nb的前n项和.答案：(1)1=3,=32nnnanbn；(2)3(1)212nnn.高考题9(2014年高考山东卷文科第19题)在等差数列{}na中，已知公差2d，2a是1a与4a的等比中项.(1)求数列{}na的通项公式；(2)设(1)2nnnba，记1234(1)nnnTbbbbb…，求nT.答案：(1)2nan，2(1)2(1)2nnnTnnn为奇数为偶数.高考题10(2014年高考浙江卷理科第19题(部分))求数列12(1)nnn的前n项和nS.答案：1221nnn.5错位相减法高考题11(2014年高考江西卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列nbbannn,0(,N*)满足02111nnnnnnbbbaba.(1)令nnnbac，求数列nc的通项公式；(2)若13nnb，求数列na的前n项和nS.解(1)12ncn.(2)得13)12(nnnnncba.先写出nS的表达式：13213)12(37353311nnnS①把此式两边都乘以公比3，得nnnnnS3)12(3)32(35333131321②①-②，得nnnnS3)12(32323232121321③13)12()3232323232(213210nnnnS④由等比数列的前n项和公式，得13)12(132nnnnS23)22(13)12(132nnnnnnS⑤13)1(nnnS因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式③右边前n项的符号都是“+”，但最后一项是“—”；(2)当等式③右边的前n项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即等式④)，这增加了难度；(3)等式⑤中最后一步的变形(即合并)有难度.但这种方法(即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分.这里笔者再给出一个小技巧——检验：算得了nS的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下21,SS是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算.对于本题，已经算出了13)1(nnnS，所以10,121SS.而由通项公式可知1033,1111121SSS，所以求出的答案正确.高考题12(2014年高考课标全国卷I文科第17题)已知na是递增的等差数列，42,aa是方程2560xx的根.(1)求na的通项公式；(2)求数列2nna的前n项和.答案：(1)121nan.(2)用错位相减法可求得答案为1242nn.高考题13(2014年高考安徽卷文科第18题)数列{}na满足111,(1)(1),nnananannnN*.(1)证明：数列nan是等差数列；(2)设3nnnba，求数列{}nb的前n项和nS.答案：(1)略.(2)由(1)可求得2nan，所以3nnbn，再用错位相减法可求得433)12(1nnnS.高考题14(2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列{}na的公差为d，点(,)nnab在函数()2xfx的图象上(nN*).(1)证明：数列{}nb为等比数列；(2)若11a，函数()fx的图象在点22(,)ab处的切线在x轴上的截距为12ln2，求数列2{}nnab的前n项和nS.答案：(1)略.(2)可求得,2nnnanb，所以24nnnabn，再用错位相减法可求得944)13(1nnnS.高考题15(2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列{}na的公差为d，点(,)nnab在函数()2xfx的图象上(nN*).(1)若12a，点87(,4)ab在函数()fx的图象上，求数列{}na的前n项和nS；(2)若11a，函数()fx的图象在点22(,)ab处的切线在x轴上的截距为12ln2，求数列nnab的前n项和nT.答案：(1)2=3nSnn.(2)可求得,2nnnanb，所以2nnnanb，再用错位相减法可求得答案为nnnT222.6待定系数法例11数列}3)12{(nn的前n项和nS.解设等差数列{}ma的公差为d，等比数列{}mb的公比为(1)qq，得111[(1)](1,2,,)mmmabamdbqmn先用错位相减法求数列{}m